Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_po_vyshke.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
04.08.2019
Размер:
209.94 Кб
Скачать

29. Уравнение прямой в пространсте-канонические, параметрические и общие.

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором.

   Пусть L – произвольная прямая и   – ее произвольная, но фиксированная точка, О – начало координат,   – произвольная (текущая) точка прямой L,   – радиус вектор точки   – радиус вектор текущей точки М,   – произвольный направляющий вектор прямой L.

           

Теорема. Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

                               ,    ,                             (7)

где   – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,   – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

   Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

30.Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями.

Пусть уравнения

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A12 + B12 + C12 ≠ 0 и A2x + B2y + C2 z + D2 = 0, A22 + B22 + C22 ≠ 0,

описывают в одной и той же декартовой системе координат две плоскости, нормальные векторы которых соответственно N1 = (A1B1C1) и N2= (A2B2C2). Угол между этими плоскостями — это угол между их нормальными векторами и определяется по формуле

Плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A1kA2,B1kB2 , C1kC2 , D1kD2.

Плоскости параллельны, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A1=kA2 ,B1kB2 , C1kC2 и D1≠ kD2 (нормальные векторы плоскостей параллельны).

Плоскости перпендикулярны, тогда и только тогда, когда A1A2 + B1B2C1C2 = 0 (нормальные векторы плоскостей перпендикулярны).

31. Взаимное расположение 2х прямых в пространстве. Угол между прямыми.

Прямые в пространстве могут пересекаться (тогда они лежат в одной плоскости), могут быть параллельными (тогда они также лежат в одной плоскости) или скрещиваться.

Пусть в трехмерном пространстве в некоторой декартовой системе координат определены две прямые, заданные своими параметрическими уравнениями:

 

Две прямые пересекаются тогда и только тогда, когда векторы

M1M2 = (x1 x2y1− y2z1− z2 ), a1 = (l1m1n1) и a2 = (l2m2n2),

компланарны, и при этом не параллельны векторы a1 и a2 , т.е. когда (M1M2a1a2) = 0 и [a2,a2] ≠ 0:

 

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда параллельны векторы a1 и a2,

т.е. когда существует число λ такое что, l1λl2, m1λm2n1λn2.

 

Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда не компланарны векторы и при этом не параллельны векторы a1 и a2, т.е. когда (M1M2a1,a2) ≠ 0 и [a2,a2] ≠ 0.

 

28. Уравнение плоскости в отрезках 

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив  , получим уравнение плоскости в отрезках:

 

            Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно

с осями х, у, z.

 

32. Угол между прямою и плоскостью. Условия параллельности и перпенд.прямых.

 Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

  Пусть плоскость задана уравнением  , а прямая -  . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 900 - j, где a - угол между векторами   и  . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме: 

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.      

 Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

£-это наим.угол,отсчит.против часовой стрелки от прямой с угловым коэф. l1 до до прямой с угл.коэф. l2.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]