ДАРБИНА—УОТСОНА КРИТЕРИЙ [Durbin-Watson statistic, D.—W.] — условный показатель, который применяется для выявления автокорреляции во временных рядах. При ее отсутствии в исследуемом ряде показатель D.—W. (обозначается d) приближается к числу 2, однако для правильного выбора необходимо учитывать, что в каждом конкретном случае величина d зависит от числа оцениваемых параметров и числа наблюдений. Применяется также дополнительный критерий для выявления отрицательной автокорреляции d¹:

d¹=4-d.

Показатель d вычисляется по формуле

где y_t+1 и y_t — соответствующие уровни динамического ряда.

Эластичность - мера изменения одного показателя по отношению к изменению другого, от которого зависит первый. Математически это производная от одного показателя по другому, изменение одного показателя, обусловленное приращением другого показателя на единицу.

Эласти́чность (англ. elasticity) — численная характеристика изменения одного показателя (например:спроса или предложения) к другому показателю (например: цене, доходу) и показывающая, на сколько процентов изменится первый показатель при изменении второго на 1%.

Товары с эластичным спросом по цене:

• Предметы роскоши (драгоценности, деликатесы)

• Товары, стоимость которых ощутима для семейного бюджета (мебель, бытовая техника)

• Легкозаменяемые товары (мясо, фрукты)

Товары с неэластичным спросом по цене:

• Предметы первой необходимости (лекарства, обувь, электричество)

• Товары, стоимость которых незначительна для семейного бюджета (карандаши, зубные щётки)

• Труднозаменяемые товары (хлеб, электрические лампочки, бензин)

Эластичными (по цене) считаются спрос или предложение, когда изменение величины спроса (предложения) больше изменения цены (|E|>1).

Неэластичными считаются спрос или предложение, когда изменение величины спроса (предложения) меньше изменения цены (|E|<1).

Эластичность для участка 1—2: ;

Корреля́ция (корреляционная зависимость) — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.^[1] Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение ^[2], либо коэффициент корреляции (или )^[1]. В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической^[3].

Коэффициент детерминации (R²)— это доля дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемая рассматриваемой моделью связи (объясняющими переменными). Модель связи обычно задается как явная функция от объясняющих переменных. В частном случае линейной связи R² является квадратом коэффициента корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными.

Общая формула для вычисления коэффициента детерминации:

где y_i — наблюдаемое значение зависимой переменной, а f_i — значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии -среднее арифметическое зависимой переменной.

При проверке гипотезы о наличии связи модель связи может быть неизвестна. Тогда ее задают в виде кусочно-постоянной функции (в этом случае коэффициент детерминации равен квадрату корреляционного отношения) либо оценивают неизвестные значения функции связи, используя методы сглаживания эмпирической зависимости (например метод скользящих средних)^[1].

Интерпретация

Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока):

Количественная мера тесноты связи	Качественная мера тесноты связи
0,7 - 0,9	Высокая
0,9 - 0,99	Весьма высокая

Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи — 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.

С другой стороны, близость коэффициента детерминации к единице может быть следствием того, что модель излишне точно описывает имеющиеся эмпирические данные, которые содержат случайную составляющую. Например, если у нас имеется n точек, то мы можем подобрать модель в виде полинома n - 1 степени, которая точно пройдет через все точки. Но если эмпирические данные измерены не точно, такая модель не имеет смысла. Поэтому наряду с коэффициентом детерминации используют другие показатели адекватности и качества моделей.

Линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии:

,

• (0,3 ; 0,5) - связь слабая

• (0,5 ; 0,7) - связь умеренная

• (0,7 ; 0,8) - связь достаточно тесная

• (0,8 ; 0,9) - связь тесная

• (0,9 ; 1) - связь очень тесная

Индекс корреляции для нелинейной регрессии:

,

Оценка качества построенной модели дает коэффициент (индекс) детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Средняя ошибка аппроксимации среднее отклонение расчетных значе-ний от фактических. Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации не более 8-10%

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака (y) характеризует коэффициент детерминации:

,

Данные формулы справедливы, если:

, (1)=0

Если , то

Средний коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

,

F-тест оценивает качество уравнения регрессии.

Выдвигается гипотеза H₀, которая говорит о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

n – число уровней

m – число параметров при переменных x

F_{расчетное} сравнивают с табличным значением.

Если , то гипотеза отклоняется, т.е. уравнение значимо и надежно.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции используют t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.

Выдвигается гипотеза H₀, которая говорит о случайно природе показателей.

; ; m_a - случайная ошибка

; ; m_b - случайная ошибка

; ; m_r - случайная ошибка

t_a , t_b , t_r сравнивают с табличными значениями.

Если , то гипотеза отклоняется, т.е. a, b, r неслучайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематических действий фактора x.

Нахождение коэф-в а и б:

Используя метод наименьших квадратов получаем следующую систему

Решая ее, находим a и b:

9	45	323
45	285	1773

3 способ: через средние

Рассмотрим систему:

Поделим на n:

Тогда:

b=2,633333

a=22,72222

Дарбин-Уотсон:

1. Рассчитать значение статистики Дарбина-Уотсона, сделать вывод о наличии автокорреляции в ряду остатков.

0,88	1,32

Т.к. < < , то критерий Дарбина-Уотсона ответа не дает. Необходимо воспользоваться другим методом, например, с помощью первого коэффициента автокорреляции.

	2,97507093
=4-	1,02492907

по модулю больше , следовательно, свойство не выполняется, т.е. автокорреляция остатков присутствует.

1. Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции с помощью d критерия Дарбина-Уотсона

1. Если , то свойство не выполняется, присутствует автокорреляция.

2. Если , свойство выполняется, остатки независимы, отсутствует автокорреляция.

3. Если , то находят d’, d’=4-d, далее смотрят, в какой интервал попадает d’.

4. Если , то критерий Дарбина-Уотсона ответа не дает. Применяют критерий первого коэффициента автокорреляции.

Далее расчетное значение сравнивают с табличным. При r_{табличное}=0,36

Если , то свойство выполняется

Прогноз:

Точечный прогноз – это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста (регрессии, тренда) величины времени t, соответствующей периоду упреждения.

L=t+n; L=10

L=t+k; L=11

Интервальный прогноз – это интервал значений, в котором с достаточной долью уверенности можно ожидать появление прогнозируемой величины (используется доверительный интервал).

- точечный прогноз (у расч = у лучшее (х расч))

- значение t критерия Стьюдента

- среднеквадратическое отклонение

L – х расч.

Таблица «Регрессия »:

	ВЫВОД ИТОГОВ
	Регрессионная статистика
	Множественный R	0,969463736
	R-квадрат	0,939859935	= R^2
	Нормированный R-квадрат	0,932784633
	Стандартная ошибка	0,028189747
	Наблюдения	20	- количество наблюдений (n)
	Дисперсионный анализ
		df	SS	MS	F	Значимость F
	Регрессия	2	0,211120549	0,105560275	132,836727	4,19656E-11
	Остаток	17	0,013509251	0,000794662
	Итого	19	0,2246298		(F-критерий )	(ошибка в F)
		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
	Y-пересечение	-0,818243732	0,114909614	-7,120759573	1,71499E-06	-1,060681823	-0,575805641	-1,060681823	-0,575805641
	x2	0,002079897	0,000928674	2,239642292	0,038770256	0,000120567	0,004039226	0,000120567	0,004039226
	x6	0,02026846	0,001266584	16,00245899	1,10447E-11	0,017596202	0,022940719	0,017596202	0,022940719