Уравнения равновесия и движения жидкости.

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы рав­новесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении столба жидкости, его высоте и плотности вес , а давление на нижнее основание

(1)

т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление называется гидростатическим давлением.

Согласно формуле (1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталки­вающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

где - плотность жидкости, - объём погруженного в жидкость тела.

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости -потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 1). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Стационарное течение

Рассмотрим течение идеальной жидкости внутри некоторой трубки тока, обладающей такими сечениями, что скорость молекул жидкости в любой точке каждого из них одинакова. Так как идеальная жидкость несжимаема, то ее масса, сосредоточенная между сечениями S1 и S2 трубки тока, с течением времени не изменяется. Следовательно, объемы жидкости dQ, протекшие через эти сечения за промежуток времени dt, будут равны. Поскольку dQ = S·v·dt, то выполняется соотношение: S·v = const

Это выражение называется уравнением неразрывности. Его физический смысл заключается в том, что жидкость нигде не накапливается, т. е. за одинаковый временной интервал в трубку тока втекает и вытекает равное количество жидкости.

Обычно жидкости при внешнем воздействии приходят в движение, при этом давление и скорость ее частиц, вообще говоря, могут сложным образом меняться от точки к точке внутри объема текущей жидкости. Поясним сказанное примером. Подключим горизонтальную стеклянную трубку переменного сечения при помощи резинового шланга к водопроводному крану.

Если напор воды остается постоянным, то течение воды можно считать установившимся (или стационарным). В этом случае масса воды M, протекающая в единицу времени через сечения с площадями S1 и S2 будет одинаковой, поэтому имеет место равенство

m = ρ1v1S1 = ρ2v2S2,

где (ρ и v - плотность и скорость жидкости в этих сечениях. Если жидкость несжимаема (ρ1 = ρ2), то мы приходим в условие постоянства объема жидкости (условие несжимаемости), протекающего через сечения S1 и S2:

V = v1S1 = v2S2

Следует отметить, что условия постоянства массы и несжимаемости жидкости записаны для случая, когда скорости всех частиц жидкости одинаковы в поперечном сечении трубки.

Для графического изображения течения жидкости удобно использовать линии тока - линии, касательная к которым в каждой точке совпадает с вектором скорости частицы. Легко видеть, что в сечении S скорости частиц различны, и объем протекающей жидкости через это сечение не может быть записан в виде V = v1S1 = v2S2.

Далее отметим, что по мере приближения к узкому сечению S2 частица, деформируясь, ускоряется, а при удалении от S2 - замедляется. Эти ускорения могут обеспечить лишь силы давления fi = - pin, показанные на рисунке маленькими стрелками. Из рисунка ясно, что давление в жидкости по мере приближения к S2 падает. А затем возрастает. Это легко проверить, если сравнить уровни h1 и h2 жидкости в манометрических стеклянных трубках, впаянных в горизонтальную трубку вблизи сечений S1 и S2. Поскольку p1 = ρgh1, p2 = ρgh2, то p1 > p2, т.к. h1 > h2. На рисунке ниже качественно изображено распределение скоростей и давлений вдоль оси трубки.