№1.Определения и вычисления определителей 2 и 3 порядка.свойства

Определителем 2го порядка, соответствующее матрице А, называется число обратное

(Из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали)

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Свойства определителей:

Величина определителя:

1)Не изменится, если заменить его строки соответствующими столбцами(т.е. при транспонировании матрицы)

.

2)Не изменится, если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы. Другой строки или столбца умножить на одно и тоже число

.

3)Меняет знак, если поменять местами его строки или столбцы

4)Увеличится(уменьшится) в К раз, если элементы какой-либо его строки или столбца увеличить(уменьшить) в К раз, т.е. общий множитель можно выносить за знак определителя.

5)Равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю.

6)Равна нулю, если элементы 2х строк или столбцов соответственно пропорциональны.

Чтобы запомнить какие произведения следует брать со знаком «+»,а какие с «-»,полезно знать правило треугольника

№2 Матрицы. Основные определения. Действия над матрицами

Матрица-таблица чисел a_ik вида, состоящая из m строк и n столбцов

Числа a_ik элементы матрицы. Элемент a_ik находится на пересечении i- строк и K-того столбца-это прямоугольная матрица.

Если в матрице число строк= числу столбцов,такую матрицу называют квадратной,а число её строк или столбцов называют порядком матрицы.

Примеры

квадратная матрица 2го порядка

-матрица 3го порядка

Квадратная матрица называется верхней треугольной(нижней треугольной), если a_ik =0, при i>j (k<j)

Верхнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Нижнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если все a_{ik =} 0,при i НЕ равном j.

Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная и все элементы на главной диагонали равны единице, обозначение ∑n,где n-размерность матрицы

Две матрицы А и В называются равными,если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.

Действия над матрицами

1)Сложение матриц

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица С,элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В

Сложение матриц подчиняется:

*Переместительному закону (А+В=В+А) *Сочетательному закону (А+В)+С=А+(В+С)

*Существование нейтрального элемента- нуль матрицы 0 (А+0=А)

Матрица,все элементы которой=0,называется нуль матрицей.

2)Вычитание матриц

Разностью 2х матриц А и В называется матрица С, такая что С+В=А

Элементы матрицы С= разности соответствующих элементов матриц А и В

3)Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число N называется матрица,элементы которой = произведению числа N на соответствующие элементы матрицы А

4)Умножение матриц

Произведением матриц А и В называется матрица С=А*В, элементы которой составлены следующим образом:

Элемент a_ik представляет собой сумму парных произведений элементов i-той строки матрицы А,на элементы k-того столбца матрицы В,это правило носит название»строка на столбец»,и сохраняется для произведения квадратных матриц 3 и более порядка,а так же для произведения прямоугольных матриц,в которых число столбцов 1й матрицы = числу строк 2й матрицы.

Произведение матриц

*не подчиняется переместительному закону (А*В не равно В*А)

*подчиняется сочетательному закону (А(В*С)=(А*В)С)

*Сущ-е нейтрально элемента-1 матрицы (А*Е=А)

*Дистрибутивно-относительно сложения (А(В+С)=А*В+А*С)