26. Экстремумы. Необходимые условия.

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в (.) х_0, то её производная в этой точке равна 0.

Пусть x₀-max. Значит, в окрестности этой точки f(x)>f(x+Δx). Но тогда <0 при Δx>0 и <0 при Δx<0 . По условию, производная

существует. Переходя к пределу при Δx→0, получим f’(x)>0 при Δx<0 и f’(x)<0 при Δx>0. Поэтому f’(x)=0.

27. Экстремумы. Достаточные условия.

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой сигма-окрестноти точки х₀ и при переходе через неё (слева направо)производная меняет знак с + на - , то это точка максимума, с - на + -точка минимума.

Рассмотрим сигма-окрестность точки х₀.

Пусть выполняются условия: f’(x)>0 при любом х из (х₀-з; х₀); f’(x)<0 при любом х из (х₀; х₀+з).Тогда функция f(x) возрастает на интервале (х₀-з; х₀) и убывает на интервале (х₀; х₀+з). Отсюда следует, что f(x₀) является наибольшим на интервале (х₀-з; х₀+з), т.е. f(x)-f(x₀)<0 для любого х из (х₀-з; х₀) и (х₀; х₀+з). Это означает, что х₀ – точка максимума функции.

28. Приближённое решение уравнения методом итераций.

Это способ численного решения математических задач. Его суть – нахождение алгоритма поиска по известному приближению (приближенному значению) искомой величины следующего, более точного приближения. Применяется в случае, когда последовательность приближений по указанному алгоритму сходится.

Данный метод называют также методом последовательных приближений, методом повторных подстановок, методом простых итераций и т.п.

Поясним суть метода на примере решения уравнения

f(x) = 0. (1)

Будем вместо уравнения (1) рассматривать равносильное ему уравнение

х = F(x), (2)

где F(x) = f(x) + х.

Пусть х0 – произвольное число (начальное приближение искомого корня уравнения (1)). Рассмотрим последовательность

х1 = F(x0), x2 = F(x1), …, xn= F(xn-1), …

Если эта последовательность имеет предел, то он и есть решение (корень) уравнения (2), а значит, и уравнения (1).

Процесс составления последовательных приближений наглядно показан на рис., где кривая – график функции у = F(x), а прямая – биссектриса первого и третьего координатных углов (ее уравнение у = х).

Последовательность {xn} сходится, например, если выполнены оба условия:

F(x) > x; 0<F’(x)<1- ε,

где ε > 0 – достаточно малое положительное число.

29. Дифференциал функции. Связь с приближёнными вычислениями.

Дифференциалом функции называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение её аргумента: dy=f’(x)Δx || dy=f’(x)dx

f(x+Δx)≈f(x)+ f’(x)Δx

Пример: вычислить arctg1,05

Рассмотрим f(x)=arctgx

arctg(x+ Δx)≈arctgx+(arctgx)’+

Так как х+Δх=1,05, то при х=1 и Δx=0,05 получаем: arctg1,05=arctg1+0,05/1+1=pi/4+0,025≈0,810

30. Дифференцирование параметрически заданных функций.

Пусть x=x(t)&&y=y(t)

Найти y’_x

t’_x=1/x’_t

y’_x=y’_t t’_x

y’_x=y’_t 1/x’_t → y’_x=y’_t / x’_t