1. Множества и действия над ними.
Множество – это совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку.
Числовые множества – натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел.
Множество А называется подмножеством
множества В, если каждый элемент
множества А является элементом множества
В: А
В
Объединение множеств: А
В={x:
x
A||
x
B}
Пересечение множеств: А
В={x:
x
А&&
x
B}
Свойства множества
R:
1)Оно упорядоченное (a<b||B<A)
2)Оно плотное: a<x<b
3)Оно непрерывное: a<=c<=b
Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий это точку.
Теорема Дедекинда: для всякого сечения A|A' в R-множестве существует число b, которое производит это сечение; число b будет: либо наибольшем в нижнем классе А, либо наименьшим в верхнем классе A’.
Верхняя граница - sup(supremum)
Нижняя граница - inf(infimum)
2. Вещественные числа, их свойства.
Множество вещественных чисел упорядоченное, плотное, непрерывное.
Определение и свойства суммы чисел:
пусть A<a<A’, B<b>B’
Суммой a+b чисел называется такое R-число у, что содержится между всеми суммами вида A+B с одной стороны и A’+B’с другой.
Свойства:
1)a+b=b+a
2)(a+b)+y=a+(b+y)
3)a+0=a
4)a>b=>a+y>b+y
Для каждого R-числа а существует симметричное ему число –а, такое, что а+-а=0.
3. Примеры счётных и несчётных множеств.
Счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Несчётное множество – то, которое не является счётным.
Примеры: множество целых чисел, множество рациональных чисел, несчётные: семейство всех подмножеств счётного множества, множество бесконечных последовательностей из нулей и единиц, множество вещественных чисел.
4. Предел последовательности и его едиственность.
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа з найдётся такое натуральное число N, что при всех n>N |xn – a|<з.
В этом случае пишут lim xn=a или xn →а и говорят, что последовательность имеет предел.
Переменная хn не может стремиться к двум различным конечным пределам.
Допустим противное: пусть xn→a и xn→b. Возьмём любое r: a<r<b. Поскольку xn→a и a<r,найдётся такой номер N’, такой, что для n>N’ xn<r. С другой стороны, тк xn→b и b>r, то найдётся N”, что для n>N” xn>r, то есть, если взять n>N, n>N”, то хn будет одновременно меньше и больше r, что невозможно.
5. Теоремы о существовании предела. Свойства пределов.
теорема (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Свойства:
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.
Предел произведения равен произведению пределов.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя (не равный 0).
Признаки существования предела.
Теорема о пределе промежуточной функции.
Если b(x)<f(x)<g(x), где b(x) →a, g(x) →a, то f(x) →a:
(доказывается через сигма-окрестность, |f(x)-A<сигма|=>lim f(x)=A)