20. Функции с нулевой производной.
21. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.
Функция F(x)в данном промежутке Х называется первообразной для функции f(x) или интегралом от f(x), если во всём этом промежутке f(x) является производной для F(x).
Формула Ньютона – Лейбница:
=F(b)-F(a)
22. Производные высших порядков. Формула Тейлора.
y(n)=(y(n-1))’
Формула Тейлора для многочлена Pn(x) степени n:
пусть Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
Произведём замену: Pn(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+…+An(x-x0)n
Для нахождения коэффициентов Ai продифференцируем n раз предыдущее равенство, подставим x=x0 в полученные равенства, получим:
Pn(x0)= A0 → A0= Pn(x0)
P’n(x0)=
A1→
A1=
P’’n(x0)=
2A2→
A2=
........
Pn(n)(x0)=
n(n-1)…2*1*An
→ An=
Таким образом, Pn(x)= Pn(x0)+ (x-x0)+ ( x-x0)2+…+ (x-x0)n
Формула Тейлора для произвольной функции:
f(x)=Pn(x)+Rn(x),
где Rn(x)
=
- остаточный член формулы Тейлора.
23. Две теоремы о погрешности формулы Тейлора.
Остаточный член в форме Пеано
Пусть Rn(x) – остаток в формуле Тейлора, тогда Rn(x) – бесконечно малая величина того же или большего порядка, как (x-x0)n+1 при x→x0
Док-во:
=
.
Применим к этому пределу n
раз правило Лопиталя, получим:
...
Остаточный член в форме Лагранжа
Пусть при всех х из Е существует (n+1) – я производная,
тогда при любом х существует (.) хф
(х0<хф<х), такая, что :
24. Пример гладкой функции с нулевыми многочленами Тейлора.
Построим гладкую функцию h(x)=
,
x!=0, 1/x2=t
(t→∞), x2=1/t;
xm=1/tm/2
h(x)=0 при x=0
a=0
Pm(x)=?
1) deg Pm<=m
2)
Проверим, что 0 является многочленом
Тейлора:
=
→0,
значит является многочленом Тейлора
любой степени.
25. Исследование функций с помощью производных: монотонность, наибольшее и наименьшее значение, выпуклость, точки перегиба.
Если дифференцируемая функция f(x) на интервале (a;b) возрастает (убывает), то f’(x)>0 (f’(x)<0) для любых х из (a;b).
Пусть f(x)
на интервале (a;b)
возрастает. Возьмём произвольную (.) х
и х+Δх и рассмотрим отношение
Функция f(x) возрастает, поэтому если Δх>0, то х+Δх>x и f(х+Δх)>f(x); если Δх<0, то х+Δх<x и f(х+Δх)<f(x);
В обоих случаях >0, т.к. числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки, а значит и производная в точке х, определяемая данным равенством, положительна.
Если f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и ей производная положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на (a;b).
Возьмём из (a;b) точки х1 и х2 и применим к отрезку [х1;х2] теорему Лагранжа.
f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1), где с лежит между х1 и х2.
По условию f’(c)>0; x1-x2>0→ f(x2)-f(x1)>0→ f(x2)>f(x1)→ f(x) возрастает.
Если функция f(x) во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, то график функции на этом интервале выпуклый вверх, если положительную – график выпуклый вниз.
Пусть f’’(x)<0 для всех х из (a;b).Проведём касательную через произвольную точку М и покажем, что график расположен ниже этой касательной: yкас-f(x0)=f’(x0)(x-x0), т.е. yкас=f(x0)+f’(x0)(x-x0)
Тогда y-yкас=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0). По теореме Лагранжа, f(x)-f(x0)=f’(с)(x-x0), где с лежит между х и х0., поэтому y-yкас=(f’(c)-f(x0))(x-x0). Применим снова теорему Лагранжа: f’(c)-f’(x0)=f’’(c1)(x-x0), где с1 лежит между х0 и с.
Таким образом, y-yкас= f’’(c1)(с-x0). Исследуем это равенство:
1)если x>x0, x-x0>0; c-x0>0→f’’(c)<0→y< yкас
2)если x<x0, x-x0<0; c-x0<0→f’’(c)<0→y< yкас
Значит, при f’’(c1)<0 график функции выпуклый вверх.
Если f’’(x) при переходе через (.) х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то х0 есть точка перегиба.
Если вторая производная слева от точки х0 отрицательна, то график функции выпуклый вверх. Так как справа вторая производна положительна, то справа график функции выпуклый вниз. То есть, в точке х0 график меняет выпуклость, значит это точка перегиба.