6. Теорема о пределе монотонной функции.

Если f(x) монотонна и ограниченна при x<x₀ и при x>x₀, то существует её левый предел и правый предел.

7. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х→х₀, если lim f(x)=0.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция.

Если функция a(x) бесконечно малая, то функция 1/a(x) бесконечно большая.

Если функция имеет предел lim f(x)=a, то её можно представить как сумму числа A и бесконечно малой функции: lim f(x)=A => f(x)=A+a(x)

8. Блочное суммирование. Примеры.

9. Предел функции. Классификация разрывов.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀.

по Гейне: Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n, сходящихся к х₀, последовательность соответствующих значений функции f(x_n) сходится к числу А.

по Коши: Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀, если для любого положительного з найдётся такое положительное число ф, что для всех х!=х₀, удовлетворяющих неравенству |x-x₀|<=ф, выполняется неравенство |f(x)-A|<=з.

Если хотя бы одно из равенств lim f(x)(при х→х₀+0)=limf(x)(при при х→х₀-0)=f(x₀) нарушается, то говорят о разрыве в (.) х₀. Если f(x)(при х→х₀+0)=limf(x)(при при х→х₀-0)!=f(x₀), то разрыв в (.) х₀ называется устранимым. Если lim f(x)(при х→х₀+0)!=limf(x)(при при х→х₀-0), то говорят о скачке функции. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если предел равен бесконечности или не существует, то говорят о разрыве второго рода.

10. Непрерывность сложной функции.

Функция f(x) называется непрерывной в (.) а, если lim f(x)=f(a) при x→а, то есть

1) f(x) определена в (.) х₀ и в её окрестности.

2) f(x) имеет предел при х→х₀

3) предел функции в (.) х₀ равен значению в этой точке.

Теорема. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема. Пусть функция u=v(x) непрерывна в (.)х_0, а функция y=f(x) непрерывна в (.) u₀=v(x). Тогда сложная функция f(v(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в (.) х₀

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a,b], то обратная функция y=v(x) также непрерывна и монотонна на [c,d].

11. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Следствие: Если функция непрерывна, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема Больцано-Коши.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах неравные значения, f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.

Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] найдётся хотя бы одна (.) с, в которой f(c)=0.