1. Доказательство.

Левые концы отрезков последовательности (1) образуют неубывающую последовательность: , а правые концы – невозрастающую последовательность: Так как , то – ограничена сверху; так как то - ограничена снизу.

Так как - неубывающая и ограничена сверху, то по теореме 1 § 7 она имеет предел: , причем . (2)

По теореме 1 § 7 , . (3)

Тогда из соотношения .

Общее значение a и b обозначим через с. Из (2), (3) следует, что , то есть точка с принадлежит всем отрезкам последовательности (1).

П окажем, что с единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1). Допустим противное. Пусть $точка с₁¹с: . Следовательно, должно выполняться неравенство , значит, , что противоречит условию теоремы.

Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Рассмотрим последовательность (1)

Выберем произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел

Выберем из последовательности (1) члены с номерами , получим последовательность (2)

Последовательность (2) называется подпоследовательностью (или частичной последовательностью) последовательности (1).

Теорема 2. (Больцано-Вейерштрасса) Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

2. Доказательство.

Пусть (1) - ограниченная последовательность, то есть

.

Рассмотрим отрезок , он содержит все члены последовательности (1).

Положим, , длина равна длине . По крайней мере, один из них содержит бесконечно много членов последовательности (доказательство от противного), обозначим его . (Если окажется, что оба отрезка содержат бесконечное число членов (1), то выбираем любой из них).

Отрезок делим на 2 равные части и через обозначаем ту из них, которая содержит бесконечное множество число членов последовательности (1). Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим последовательность вложенных отрезков: (3)

Каждый отрезок содержит бесконечно много членов последовательности (1).

Последовательность (3) является стягивающейся, так как . Следовательно, по теореме § 8 существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам последовательности (3), то есть , .

Построим подпоследовательность последовательности (1), сходящуюся к числу с , следующим образом. Возьмем какой-нибудь из членов последовательности (1), содержащийся на и обозначим его , на возьмем какой-либо член последовательности (1) и обозначим его и так далее. Это всегда можно сделать, так как все эти отрезки содержат бесконечно много членов последовательности(1). Получим подпоследовательность последовательности (1).

, так как , то по теореме о пределе промежуточной последовательности .

Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

Фундаментальные последовательности. Теорема о фундаментальности сходящейся последовательности.

Определение. Последовательность (x_n) называется фундаментальной, если выполнено . (1)

Теорема (критерий Коши сходимости числовой последовательности)

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть (x_n) сходится, т.е. $ Þ (2)

Возьмем "m>N, для него тоже выполнено неравенство (2): . Тогда

.

Следовательно (по определению) (x_n) фундаментальна.

2) Достаточность.

Пусть (x_n) фундаментальна, т.е. Þ .

Отсюда x_m-e<x_n<x_m+e "n>N. Т.е., начиная с номера N+1, последовательность ограничена. Выберем .Тогда , т.е. последовательность (x_n) ограничена. Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность : . Покажем, что тогда и .

Þ , и одновременно n_k>N.

Т.к. в неравенстве (1) m>N, то возьмем в нем m=n_k, получим .

Тогда "n>N. Это означает, что , т.е. последовательность (x_n) сходится.

Определение числа e.

Лемма (неравенство Бернулли) , выполняется

.

Доказательство.

(Методом математической индукции)

1) n=1: - верно.

2) Пусть неравенство верно для n=k, то есть . Докажем, что оно верно и для n=k+1. Умножим обе части на 1+h. Так как , то . Раскроем справа скобки:

, так как .

То есть неравенство верно для n=k+1.

Из 1), 2) следует, что , выполняется .

Рассмотрим последовательность : . Докажем, что она имеет предел.

1) Рассмотрим последовательность : .

Докажем, что она имеет предел. Для этого покажем, что

а) не возрастает,

б) ограничена снизу.

а)

;

Тогда

, следовательно, не возрастает.

б) , значит, ограничена снизу.

Из а) и б) что имеет предел (по теореме 1 § 7).

2) .

Так как и , то .

Этот предел принято обозначать буквой е:

.

е- иррациональное число, впервые введенное Эйлером (1707-1783).

е=2,718281828459045…

1. Предел функции. Эквивалентность двух определений.

2. Теорема 1. Первое и второе определения предела функции в точке прикосновения множества определения функции эквивалентны.

3. Доказательство. Докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел по Гейне, то она имеет тот же самый предел в этой точке и по Коши. Пусть , x0 – точка прикосновения множества X и  в смысле первого определения предела функции.

4. Ограничимся здесь случаем конечных x0 и a. Допустим, что предел по Коши не совпадает с пределом по Гейне, т. е.

5.   . (12.1)

6. Возьмём . Выберем в каждой такой -окрестности точки x0 элемент xn. Тогда, по построению, имеем последовательность . При этом, в силу (4), все элементы последовательности  лежат вне -окрестности точки a.

7. С другой стороны, поскольку  в смысле первого определения, то для любой последовательности  имеет место равенство . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a, в частности и для выбранной выше -окрестности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N имеет место .

8. Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение. □

9. Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле второго определения, то она имеет в этой точке тот же самый предел и в смысле первого определения. Пусть  в смысле предела функции по Коши, , x0 – предельная точка множества X, и пусть . Покажем, что тогда , т. е. точка a является пределом функции f и в смысле определения предела функции по Гейне.

10. Зададим произвольную -окрестность точки a. Тогда, по условию теоремы,

11.   . (12.2)

12. Для этой -окрестности найдётся такой номер N, что для всех номеров n>N будет выполняться условие . Но тогда, в силу (5), имеем . Это и означает, что .

13. Если же x0 – изолированная точка множества X, то функция f непрерывна в этой точке (почему?) и имеет место равенство .

Свойства пределов функций, выражаемые неравенствами.

Обозначение предела

Предел функции обозначается как или через символ предела: . Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p - действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0.

Предел логарифмической функции

где основание a > 0.

Бесконечно малые функции и их свойства.

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.   Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х₀, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде

( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х₀| < δ ) : | f (x) | < ε.

Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x₀:

1.
2.
3.
4.

  Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x₀ справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.

Арифметические свойства пределов функций.

Арифметические свойства предела функции в точке.

Если функции f₁(x) и f₂(x) имеет точке х₀ предел А₁ и А₂, то функции f₁(x)  +  f₂(x),  f₁(x) f₂(x), f₁(x) / f₂(x) имеют пределы А₁ + А₂, А₁А₂, А₁/ А₂.

Теорема о пределе сложной функции.

 Пусть числовые функции f (x) и g (x) определены на некотором интервале, быть может, кроме точки х₀ этого интервала, и имеют конечные пределы в этой точке

и

Тогда

• если | A | < ∞, то функция f (x) ограничена в окрестности точки х₀.   Доказательство. Так как

то

( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) − A | < ε

Из этого определения следует ограниченность функции: A - ε < f (x) < A + ε в окрестности x₀– δ < x < x₀ + δ, что и требовалось доказать.

Односторонние пределы, связь с пределом функции.

Односторо́нний преде́л — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва)

Монотонные функции. Теорема о пределе монотонной функции.

Функция называется возрастающей на отрезке [а, b], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции

x₂ > x₁→ f (x₂) > f (x₁) х₁, x₂ [a, b].

  Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции

x₂ > x₁→ f (x₂) < f (x₁) х₁, x₂ [a, b].

  Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями. Участки возрастания функции на рисунке отмечены синим цветом (в чёрно белом варианте более толстым форматом).

Пусть функция — монотонна и ограничена в проколотой окрестности точки . Тогда в этой точке у функции существует односторонний предел.

Доказательство:

Рассмотрим левосторонний предел и будем считать, что функция возрастает.

Так как — ограничена, то .

Докажем, что , используя свойства .

Тогда так как , тогда для таких .

В качестве можно брать , тогда предел существует по определению.

Первый замечательный предел и его следствия

Второй замечательный предел и его следствия.

или

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций, выражаемые неравенствами и равенствами.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

 Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

 

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

  3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

 

Теорема о непрерывности и разрывах монотонной функции.

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

 Теор.5.5.1. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество  ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для 0  х1[a, х0), в котором f(х1) М*  . По монотонности функции и по определению верхней грани для х: х1х х0 справедливо неравенство М*   f(х1) f(х) М*, что означает выполнение условий существования  с = х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.

 Следствие: если множество значений монотонно возрастающей на отрезке [a,b] функции f(х) полностью заполняет отрезок [f (a), f( b)] (т.е. для у[f (a), f( b)] х[a,b] такой, что f(х)= у), то эта функция непрерывна, легко доказать теперь от противного. Если в точке х0 имеется скачок, то f(х) не может принимать значений, попадающих в интервал (f(х0-0), f(х0)).

Ограниченные функции. Первая теорема Вейерштрасса.

Первая теорема Вейерштрасса: если функция f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Так как по условию функция f(x) непрерывна на [a,b], то она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

.

Семейство этих интервалов будет представлять собой покрытие отрезка [a,b].

В силу принципа Бореля-Лебега из этого покрытия отрезка [a,b] можно выделить конечное подпокрытие:

Пусть m=min{ },

           M=max{ }/

Тогда . Теорема доказана.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своего наибольшего и наименьшего значений: если функция f(x) непрерывна на [a,b], то найдется такая точка , в которой функция достигает своего максимума,  найдется такая точка , в которой функция достигает своего минимума.

Доказательство:

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда в силу теоремы 1 она ограничена на этом отрезке. Следовательно, ограничено множество значений функции. Тогда в силу принципа верхней грани это множество обладает точной верхней и точной нижней границами.

Обозначим:  и покажем, что  и будет наибольшим значением функции f(x) на отрезке [a,b]: .

Предположим противное, то есть .

Так как , то f(x)< .

-f(x)>0

введем в рассмотрение функцию . Функция непрерывна на [a,b], так как -f(x) 0. Тогда, в силу первой теоремы Вейерштрасса, функция ограничена на [a,b].

<M              >                         , где >0