![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Матрицы и действия с ними
- •Определители n-ого порядка. Методы вычисления.
- •Обратная матрица и методы её нахождения.
- •Критерий существования обратной матрицы
- •Ранг матрицы и методы его нахождения.
- •Метод окаймляющих миноров
- •Метод элементарных преобразований
- •Теорема о ранге матрицы
- •Теорема о базисном миноре
- •Системы линейных уравнений: определение, общее решение, частное решение. Метод Крамера.
- •Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы
- •Метод Гаусса.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Однородные системы. Фундаментальная система решений.
- •Вектор. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •Линейная зависимость системы векторов. Основные теоремы о линейной зависимости системы 3-х,(4-х) векторов.
- •Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы. Размерность.
- •Скалярное произведение и его свойства. Условие ортогональности.
- •Векторное произведение и его свойства. Условие коллинеарности. Геометрический смысл векторной производной.
- •Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Декартова система координат. Перенос начала, поворот. Полярная система координат.
- •Прямая на плоскости. Общее уравнение.
- •Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Уравнение прямой проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расположение прямых на плоскости.
- •Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Угол между плоскостями. Расположение плоскостей.
- •Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению. Уравнение плоскости проходящей через 3 точки.
- •Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
- •Прямая как пересечение двух плоскостей. Приведение к каноническому виду
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Расстояние между прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Пересечение прямой и плоскости. Проекция точки на прямую и плоскость.
- •Гипербола
- •Парабола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
Линейная зависимость системы векторов. Основные теоремы о линейной зависимости системы 3-х,(4-х) векторов.
Пусть
есть система векторов
…
n.
Рассмотрим равенство α₁
+ α₂
+ … αn
n
= 0.
если в этом равенстве все αi = 0, то система ,…, n линейно независимая.
если существует хотя бы одно αi ≠ 0, то ,…, n - линейно зависимая (каждый вектор системы можно выразить через остальные векторы).
,
- линейно зависимые, если = k .
Теор.1: любые 2 неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.
Теор.2: любые 3 вектора на плоскости всегда линейно зависимы.
Аналогично: можно рассмотреть всю теорию для пространства R³(V³).
Теор.3: любые 3 некомпланарных вектора в пространстве R³ линейно независимы.
любые 4 вектора в пространстве R³ будут линейно зависимые.
Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы. Размерность.
Если
и
линейно независимые, то говорят, что
они образуют базис в пространстве
векторов (V²,R²).
Теор.1: если и образуют базис в пространстве V²,R² , то любой вектор этого пространства можно представить единственным образом виде линейной комбинации базисных векторов (разложить по базису).
,
V²
:
=
+
.(разложение
по базису, причем коэф-ты разложения
называются координатами вектора в
данном базисе
=
,
).
-
стандартный базис в R²(V²).
(
)
= a₁
a₂
.
Теор.2:
любые 3 некомпланарных вектора образуют
базис пространства R³(V³),
причем
,
- базис из М R³(V³),
R³:
=
+
+
,
где
(
,
-
координаты
в данном базисе.
– стандартный
базис в V³.
= a₁
a₂
+ a₃
(
).
(прямоугольная
декартовая сист. координат).
Число
векторов в базисе называется размерностью
в пространстве (R³,
)
Ортонормированные базисы
Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Декартова система координат, базис которой ортонормирован называетсядекартовой прямоугольной системой координат.
Если e1, e2, ..., en — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..., n
Скалярное произведение и его свойства. Условие ортогональности.
Углом между векторами называется угол между равными векторами имеющими общее начало.
Скалярным произведением векторов называется число равное произведению длин векторов на cos
между ними.
(
)
=
.
Свойства:
( ) = (
) – коммутативность.
(
) = ( ) + (
).
(
) = k( ).
(
) =
2>0, ( )=0 => =0
( ) = 0 =>
верно обратное
=> ( ) = 0 – условие ортогональности векторов.
Векторное произведение и его свойства. Условие коллинеарности. Геометрический смысл векторной производной.
3 вектора, лежащие в одной плоскости, называются компланарными, в противном случае некомпланарными.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов, называется правой, если с конца 3-го вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. Если же этот поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.
Векторным произведением векторов и называется вектор , который ⊥ каждому из векторов и и направленный так, что тройка , , - правая.
Длина вектора = Sпар., построенного на векторах и .
=
,
⊥
,
⊥
.
=
Sпар.
=
*
.
Свойства:
=
.
= +
.
= k .
= 0 =>
, верно обратное
=> = 0, условие коллинеарности векторов.
Геометрический
смысл векторной производной: модуль
векторного произведения равен Sпар.,
построенного на данных векторах.
=
=
.