- •Матрицы и действия с ними
- •Определители n-ого порядка. Методы вычисления.
- •Обратная матрица и методы её нахождения.
- •Критерий существования обратной матрицы
- •Ранг матрицы и методы его нахождения.
- •Метод окаймляющих миноров
- •Метод элементарных преобразований
- •Теорема о ранге матрицы
- •Теорема о базисном миноре
- •Системы линейных уравнений: определение, общее решение, частное решение. Метод Крамера.
- •Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы
- •Метод Гаусса.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Однородные системы. Фундаментальная система решений.
- •Вектор. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •Линейная зависимость системы векторов. Основные теоремы о линейной зависимости системы 3-х,(4-х) векторов.
- •Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы. Размерность.
- •Скалярное произведение и его свойства. Условие ортогональности.
- •Векторное произведение и его свойства. Условие коллинеарности. Геометрический смысл векторной производной.
- •Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Декартова система координат. Перенос начала, поворот. Полярная система координат.
- •Прямая на плоскости. Общее уравнение.
- •Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Уравнение прямой проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расположение прямых на плоскости.
- •Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Угол между плоскостями. Расположение плоскостей.
- •Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению. Уравнение плоскости проходящей через 3 точки.
- •Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
- •Прямая как пересечение двух плоскостей. Приведение к каноническому виду
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Расстояние между прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Пересечение прямой и плоскости. Проекция точки на прямую и плоскость.
- •Гипербола
- •Парабола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
Системы линейных уравнений: определение, общее решение, частное решение. Метод Крамера.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными x1,x2,…xn называется система S вида
S=
,
Где aij - коэффициенты при неизвестных, bj - свободные члены (aij, bj - заданные числа).
Решением системы S называется упорядоченный набор действительных чисел a1,a2,…an, при подстановке которых в каждое уравнение системы вместо x1,x2,…xn соответственно будут получены верные числовые равенства.
Система S называется совместной (несовместной), если она имеет хотя бы одно решение (не имеет решений).
Совместная система S линейных алгебраических уравнений называется определённой (неопределённой), если она имеет единственное решение (множество решений).
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.
Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.
Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.
СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Любая однородная система линейных алгебраических уравнений, ранг матрицы которой равен r, с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:
Общее решение однородной линейной системы, записанной в каноническом виде, очевидно, определяется формулами:
Свободные переменные xr+1 , xr+2 , ..., xm−1, xm могут принимать произвольные значения.
Вычисленные по этим формулам n − r линейно независимых решений образуют фундаментальную систему решений:
E1= , E2= , En-r-1= , En-r=
Тогда общее решение системы можно записать в вектороной форме в виде:
X=C1E1+C2E2+…+Cn-r-1En-r-1+Cn-rEn-r,
X=C1 +C2 +…+Cn-r-1 +Cn-r
Здесь С1, С2, ..., Сn−r−1, Сn−r — произвольные константы.
СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решения неоднородной системы.
Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:
то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:
X= C1 +C2 +…+Cn-r-1 +Cn-r
Здесь С1, С2, ..., Сn−r−1, Сn−r — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).
Система линейных уравнений:
В данной системе составим определитель и вычислим.
=
Составить и вычислить следующие определители:
1= , 2= , 3=
3. Воспользоваться формулами Крамера.x1= , x2= , x3= .