7.3 Приложение вычетов к вычислению некоторых действительных интегралов
Многие определенные интегралы, и особенно несобственные, довольно просто вычисляются с помощью теории вычетов.
Суть метода состоит в переходе в интеграле от действительной к комплексной переменной.
Пусть
надо вычислить интеграл от действительной
функции
по какому-нибудь отрезку
действительной оси. Тогда дополняют
отрезок
некоторой кривой
в плоскости комплексной переменной
так, чтобы образовался замкнутый контур,
ограничивающий некоторую область D.
Рассматривают функцию . Применяя к ней основную теорему о вычетах и, следовательно, находят
,
где сумма вычетов функции относительно всех особых точек, лежащих в области D.
Если
удается вычислить интеграл
,
то задача вычисления интеграла
будет решена.
1. Рассмотрим следующий определенный интеграл
,
где
− рациональная функция от
и
.
Пусть
,
если положить
,
где
,
тогда
,
,
,
.
Тогда
, (78)
где
есть сумма вычетов функции
относительно полюсов, заключенных
внутри окружности
.
2. Рассмотрим следующий интеграл
,
где − рациональная функция от :
.
Предполагаем,
что степень многочлена
в числителе дроби меньше степени
знаменателя
по крайней мере на две единицы, и
знаменатель дроби
не имеет действительных корней.
Если
рациональная функция
не имеет
полюсов на вещественной оси, то
(77)
где
– нули
,
лежащие в верхней полуплоскости (
).
Пример
1. Вычислить
интеграл
.
Применяя
,
получаем после преобразований
.
Внутри
единичного круга
при условии
находится только один полюс (двукратный)
.
Вычет
функции
относительно этого полюса
и
.
Пример
2. Вычислить
интеграл
.
Подынтегральная функция – четная, поэтому
Для
функции
– многочлены второй и четвертой степени
и
.
Нули функции
и
лежат вне вещественной оси, причем в
верхней полуплоскости лежит лишь нуль
.
Условия формулы (77) выполнены для данной
функции, и, следовательно,
и
.