11 Основные логические операции (“и”, “или”, “не”).
В алгебре высказываний рассматривают в качестве основных три логические операции: дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза “и” называется операцией логического умножения или конъюнкцией. Эту операцию принято обозначать знаком “л” или знаком умножения “ • ”. Сложное высказывание А/\В истинно только в том случае, когда истинны оба входящих в него высказывания. Истинность такого высказывания задается следующей таблицей:
А О О
АлВ О О О
Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “или” называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией. Эту операцию обозначают знаком “v” или знаком сложения “+”. Сложное высказывание AvB истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний. Таблица истинности для логической суммы высказываний имеет вид:
А О О
AvB О
Присоединение частицы “не” к данному высказыванию называется операцией отрицания. Она обозначается А и читается “не А”. Если высказывание А истинно, то А ложно, и наоборот. Таблица истинности в этом случае имеет вид:
А |
А |
0 |
1 |
1 |
0 |
Эти логические операции принято называть основными, потому что через них можно выразить любые другие логические операции. Например, операция импликации (А—>В), таблица истинности которой имеет вид:
А |
В |
А->В |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
может быть представлена как дизъюнкция не А и
В, т.е. _ А->В =AvB.
Еще одна логическая операция, называемая эк-виваленцией (А~В), имеет следующую таблицу ис-
тинности:
А |
В |
А~В |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
О |
0 |
1 |
1 |
1 |
и может быть представлена в виде дизъюнкции двух высказываний (А-В) и (А- В), т. е. А~В = (А • B)v(A • В).
В вычислительной технике для построения более сложных логических устройств используются три основных логических элемента — “И”, “ИЛИ”, “НЕ”, которые реализуют три основных логических операции: дизъюнкции (элемент “ИЛИ”), конъюнкции (элемент “И”) и отрицания (элемент “НЕ”).
Благодаря тому что любая логическая операция может быть представлена с помощью трех основных логических операций, набора элементов “И”, “ИЛИ” и “НЕ” в принципе достаточно для построения любого устройства процессора компьютера.
Рассмотрим в качестве примера, как может быть построен двоичный сумматор (т. е. устройство для сложения чисел в двоичной системе счисления) из элементов “И”, “ИЛИ” и “НЕ”.
Вспомним, что при сложении чисел образуется сумма в данном разряде и перенос в соседний старший разряд. Поэтому мы имеем дело с двумя разными логическими операциями: суммирование в одном разряде (обозначим эту операцию как S) и перенос {Р) в другой разряд. Таблицы истинности этих логических операций имеют следующий вид:
числоА |
число В |
сумма S |
перенос Р |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Сумма двоичных чисел А и В в данном разряде равна 1, когда одно из слагаемых равно 1. Если оба слагаемых равны 1, то сумма в данном разряде равна 0, но образуется перенос в соседний старший разряд.
Нетрудно увидеть, что операция переноса Р представляет собой конъюнкцию А и В, т. е. Р = А/\В. Операцию S можно представить следующим образом: S = (A ' B)v{A • В).
66
Из формул операций S и Р видно, что одноразрядный двоичный сумматор должен состоять из трех элементов “И”, двух элементов “НЕ” и одного элемента “ИЛИ”. Логическая схема сумматора будет иметь следующий вид:
