10 Логические функции и их преобразования.

Во многих науках, в том числе и информатике, мы имеем дело с различными высказываниями, выражающими свойства предметов или взаимосвязи между ними.

Под высказыванием понимают повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Например, выражение “Расстояние от Москвы до Киева больше, чем от Москвы до Тулы” истинное, а выражение “4<3” — ложное.

Высказывания принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С... и т.д. Если высказывание С истинно, то пишут С = 1, а если оно ложно, то С = О.

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания. Истинность полученных высказываний зависит от истинности исходных высказываний и использованных для их преобразования логических операций.

Для образования новых высказываний наиболее часто используются логические операции, выражаемые словами “не”, “и”, “или”.

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза “и” называется операцией, логического умножения, или конъюнкцией. Эту операцию принято обозначать знаком “л” или знаком умножения “•”. Сложное высказывание АлВ истинно только в том случае, когда истинны оба входящих в него высказывания. Истинность такого высказывания задается следующей таблицей:

А	В	А^В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “или” называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией. Эту операцию обозначают знаком “v” или знаком сложения “+”. Сложное высказывание AvB истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний. Таблица истинности для логической суммы высказываний имеет вид:

А	В	AvB
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Присоединение частицы “не” к данному высказыванию называется операцией отрицания. Она обозначается А и читается “не АО . Если высказывание А истинно, то А ложно, и наоборот. Таблица истинности в этом случае имеет вид:

А	В
0	1
1	0

Помимо операций “и”, “или”, “не” в алгебре высказываний существует много других операций. Например, операция эквиваленции (А~В), которая имеет следующую таблицу истинности:

А	В	А~В
0	0	1
0	1	0
1	О	0
1	1	1

Другим примером может служить логическая операция импликации (А—>В), объединяющая высказывания словами “если..., то” и имеющая следующую таблицу истинности:

А	В	А®В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Высказывания, образованные с помощью логических операций, называются сложными. Истинность сложных высказываний можно установить, используя таблицы истинности. Например, истинность сложного высказывания В • В определяется следующей таблицей:

А	В	В	В	В • В
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	О	0	1	0
1	1	0	0	0

Высказывания, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных высказываний используют знак “=”. Рассмотрим сложное высказывание (А • В) + (А • В).

Запишем таблицу истинности этого высказывания:

А	В	В	В	А • В	В • В	(В • В) f (А -В)
0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	0	о	1	0	1

Если сравнить эту таблицу с таблицей истинности операции эквивалентности высказываний А и В, то можно увидеть, что высказывания (В • В) + (А • В) и А~В тождественны, т. е. А~В = (А • В) + (А • В).

В алгебре высказываний можно проводить тождественные преобразования, заменяя одни высказывания равносильными им другими высказываниями.

Исходя из определений дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, устанавливаются свойства этих операций и взаимные распределительные свойства. Приведем примеры некоторых из этих свойств:

А = А, А • А = А, А + (В + С)_= (А + В) + С, А-В+А-В= А, А • (В~С) = А_- В -А- С^_ _ А-В=А+ В,А+В^А-В. Используя эти свойства, можно проводить тождественные преобразования, упрощения формул алгебры высказываний. Например, сложная формула (А • В+С) • (А+В)+С может быть преобразована в более простую —С • А + С • В + С.