Лекция №7

1.Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд.

Мы выведем выражение для энергетических характеристик эм поля через комплексные амплитуды.

1.Плотность эм энергии: (1)

2.вектор Пойтинга: < > = (2)

Комплексные амплитуды используются для описания гармонических во времени полей. Мы отметим, что операция получения действительных полей коммутирует с операцией сложения этих полей, поскольку операция нахождения действительных полей есть линейная операция.

Z = x + iy x =

Уравнения Максвелла rot (3) rot (4) – вещественные поля

(5)

Уравнения Максвелла (3) и (4) с учетом (5) являются линейными, потому что здесь содержатся три линейные связи и сами уравнения содержат линейные операции – дифференцирование.

По этой причине (линейности) ясно, что к этому ур-ию можно применить идею комплексных амплитуд, а именно для гармонических во времени полей, можно показать, что (3)и (4) справедливы для комплексных эм полей. Мы будем смело пользоваться уравнениями Максвелла для комплексных полей.

В ЭД СВЧ, КВЧ и оптике гармонического поля играют определяющую роль. В дальнейшем гармонически-комплексные поля будем записывать:

(6)

Аналогично для

Рассмотрим однородную изотропную среду, материальные уравнения которого записано в виде (5) (диэлектрик). Эта среда достаточно распространена в природе.

Ур (3) и (4) могут быть записаны для полей вида (6). Таким образом:

(7.1) (7.2) (7) для комплексных полей.

В диэлектрических средах проводимость отсутствует и уравнение Максвелла получается из (7).

(8)

(9)

Комплексные амплитуды вводились для гармонических полей, потому что операторы диф-ия по времени сводятся к умножению.

Математическое отступление

Ф=Ф(u) u=u(t)

u = -i

Для полей типа (6) мы доказали, что:

(10)

(11)

Запишем (9) для полей (6) с учетом (10) и (11). После сокращения на :

(12.1) (12.2) (12)

Мы хотим получить уравнение, которому подчиняется амплитуда

Rot (12.1)

Left = rotrot (13)

div 𝓔=const

𝓔div

𝓔 div (14)

С учетом (14): Left rot(12.1)= - (15)

Рассмотрим правую часть (12.1) с учетом (5) и учетом (12.2)

Right (12.1) = rot (i

Приравниваем левые и правые части:

-

(16)

Мы получили ур (16) для комплексной амплитуды, зависящей от Это уравнение является прямым следствием закона природы ур Максвелла для комплексного поля вида (6).

В этом уравнении - постоянные параметры среды, они заданы. Нас интересует решение этого уравнения в данной среде.

Рассмотрим вначале безграничное пространство.

(16) – однородное уравнение (потому что справа 0). Это уравнение имеет тривиальное решение, но оно нас не интересует. Нас интересует нетривиальное решение этого уравнения (отличное от 0)

Рассмотрим в этом пространстве некоторое выделенное направление, которое задается единичным вектором .

Р ешением уравнения (16) называется такая функция, которая будучи поставлена в данное утверждение превращает его в верное тождество для .

Уравнение (16) имеет целый ряд решений, особенно когда рассматривается конечные тела (эм поле поступает на шар)

Одним из наиболее простых решений уравнения (16) (уравнения Гельмгольца) является решение в виде:

(17)

, A=const,