Теорема о наименьшем решении линейного уравнения в замкнутом полукольце

Т-ма: наименьшими решениями уравнений x=ax+b и x=xa+b в замкнутых п/к будут соответственно x=a*b и x=ba*, a* - итерация элемента а.

Д-во: использую формулу для вычисления наименьшей неподвижной точки и записывая в случае в случае замк п/к как бесконечную сумму, для уравнения х=а*b получим х=Е(n>=0, беск): f^n(O), где О – нуль п/к, а f(x)=ax+b. Учитывая, что

f^0(O)=O

f^1(O)=aO+b=b

f^2(O)=ab+b

----------

f^n(O)=(a^(n-1) +…+a^2+a+1)b

получаем Е(n=0, беск): f^n(O)= Е(n=1, беск):(II+a+...+a^(n-1))b

Используя непрерывность умножения, выносим b за знак бесконечной суммы

Е(n=1, беск): (II+a+...+a^(n-1))b = (Е(n=1, беск): (II+a+...+a^(n-1)))b

Классы Поста Примеры.Теерема о замкнутости классов Поста.

Пять функциональных классов,называемые классами Поста.

1)Т₀=fP₂:f(0,….0)=0-класс функций, сохраняющих нуль.

2)Т₁= fP₂:f(1,….1)=1 класс функций, сохраняющих 1.

3)L= fP₂:f(x₁,….x_n)=a₀+a₁x₁+a_nx_n-класс линейных функциий,полином жигалкина которых не содержит ни одной коньюкции материалов.

4)Класс самодвойственности ф-ий S-fP₂ :f( )= f( )

5)

-класс монотонных функций

Теор.Каждый класс Поста замкнут.

Д-во:Нужно для каждого класса Поста ,доказать что замыкание множества бф С совпадает с С.Пусть f(g_1….g_n)-какая –то суперпозиция над С, обозначим ее через .Без ограничения обязоности можно считать,что все функции f,g_1….g_nP_2n.Рассуждаем,используя индукцию по определению суперпозиции ,если для каждого функция g_ix_i,где x_i-переменное,то =f(x,…x_n)C.предположим,что в суперпозиции все функции g_i есть эл-ты класса Поста C.Докажем, что и =f(g,…g_n)C

1)Если С=Т_0,то

2)При С= аналогино

3)Пусть с= .Фиксируем произвольно набор Вычислим:

4)С=М.Берем произвольные наборы так,что Докажем М.Имеем: т.к. все функции монотонные и тем сильнее вектор не больше вектора ,а функция f так же монотонна М

Область целостности.Теорема о конечной области целостности.

Областью целостности наз. коммутативное кольцо без делителей нуля.

Теор.Конечная область целостности явл полем.Поле-кольцо, умножение которого коммутативно,а каждый нулевой элемент a имеет обратный элемент относительно умножения т.к. область целостности,по опр. Явл. коммутат. Кольцом,то достаточно доказать,что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим,т.е. для всякого a0!x,такой что ax=1I.Фиксируем произ. элемент a0 и определяем отображение f_a множества всех ненулевых элементов в себя по формуле f_a(x)=ax(ax0 в области целостности при a0 и x0.Отображение f_a явл. инъекцией поскольку из равенства ax=ay вытекает равенство a(x-y)=0,откуда ввиду отсутствия делителей нуля x-y=0 и x=y т.к. носитель по условию конечен, то согласно теореме(если А-конечное мн-во и f:AA-инъекция,то она явл. сюръекцией и  биекцией),f_a так же и биекция. Поэтому для у!х такой ,что у=ax, в частности ,при y=1 равенство ax=1I вып. для некоторого однозначно определенного x,т.е. x=a^-1

Док-во теормы опирается на условие конечности кольца.Это условие действительно важно.пример кольца умных чисел показывает,что область целостности может быть и не полем.

. Лемма о разрастании

L – регулярный язык. Тогда существует натуральная константа K(L) такая, что для любой цепочки х э L, длина которой|x|<=k,

X можно представить как х=uvw, |v|<=k, V!=Л, при чём для любого n>=0, цепочка у= uv^nw, у э L.

Cледствие: если L –бесконечный регулярный язык, то в нём найдётся последовательность слов, длины которых образуют возрастающую ариф последовательность.