- •.Теорема о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества.
- •.Критерий полноты системы булевых функций.
- •.Неподвижная точка отображения. Теорема о неподвижной точке.
- •.П/к языков, его замкнутость.
- •.Неподвижная точка отображения. Теорема о неподвижной точке.
- •Теорема Клини
- •Классы Поста Примеры.Теерема о замкнутости классов Поста.
- •Регулярные языки.Индуктивная процедура порождения регулярных языков.Регулярные выражения.Полукольцо регулярных языков.Незамкнутость полукольца регулярных языков.
- •Теорема о регулярности дополнения регулярного языка.Регулярность пересечения,разности и симметрической разности регулярных языков.
- •.Регулярные языки.Индуктивная процедура порождения регулярных языков.Регулярные выражения.Полукольцо регулярных языков.Незамкнутость полукольца регулярных языков.
- •Теорема Лагранжа
- •Конечные автоматы.Представление автомата орг. Графом, взвешанным над п/к регулярных языков.
- •. Дизъюнктивные и конъюктивные нормальные формы. Сднф и скнф. Теорема о представлении булевой функции в виде сднф и скнф.
- •19.1. Базис Жегалкина и его полнота. Полином Жегалкина. Теорема о единственности
- •Полинома Жегалкина для каждой булевой функции
- •Теорема о наименьшем решении линейного уравнения в замкнутом полукольце
- •Классы Поста Примеры.Теерема о замкнутости классов Поста.
- •Область целостности.Теорема о конечной области целостности.
- •.Теорема о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества.
.Теорема о связи между отношением эквивалентности и разбиением множества.
Фор-ка:для любого класса эквивалентости на мн-ве А множество классов эквивалентности образует разбиение множества А.Обратно,любое разбиение мн-ва А задает на нем отношение эквив совпадают с эл-ми разбиения.До-во:покажем.что отношение эквив. Р на мн-ве определяет некоторое разбиение этого мн-ва.Убедимся вначале,что любые 2 класса эквив. По отношению р либо пересек,либо совпад.Пусть 2 класа эквиви. р и р имеют общий элемент zpx ,zpy.В силу симметричности отношения р имеем xpz, и тогда xpz ,ypz.В силу транзитивности отн-ния р получим xpy.Пусть h р, тогда hpx т.к.xpy,то hpy h р. Обратно,если h р,то в силу сим-ти р получим hpy,ypx и в силу транз-ти- hpx,т.е h р. Таким образом р= р.Итак, любые два не совпадающих класса эквив-ти не пересек. Т.к. для xA справедливо х р(поскольку хрх) ,т.е. каждый элемент мн-ва А некоторому классу экв-ти по отн. , то мно-во всех классов экв-ти по отношению р образует разьиение исходного мн-ва А.Таким образом,любое отношение экв-ти однозначно определяет некоторое разбиение.Теперь -некоторое разбиение мн-ва А.Рассмотрим отношение р,такое ,что xpy имеет место,когда хи у одному и тому же эл-ту ,данного разбиения: xpy(iI) (x Bi) (yBi)/.Очевидно, что введенное отношение рефл. и симм..Если для х,у,z имеет место xpy и ypz, то x,y,z в силу отношения p принадлежат одному и тому же эл-ту Bi разбиения,хpz и отношение p транзитивно.Таким образом,р- эквив-ть А.Терема позволяет отождествлять отношения эквивалентности и разбиения: любая эквивалентность опр. Единственное разбиение и наоборот.
Транзитивность-БО р на мн-ве А наз. транз-тью,если для х,у,zА из того,что хру и урz xpz.
Симметричность-,если для х,у,zА из xpy урх
Эквивалентность-рефликсивно,сим-но,тран-но.
Рефликсивность-если на мн-ве А содержится в p:idyp,т.е xpx для x
мн-ва А.xA(x,x)p.
Пусть А- произ. мн-во.Сем-во непустых и папарно не пересек. Мн-в назыв разбиением мн-ва А,если объединение мн-в см-ва Bi равно равно АiIВ=А
.Критерий полноты системы булевых функций.
Множество F б ф не содержится ни в одном из классов Поста.
Док-во: необходимость: рассмотрим функцию штрих Шеффера:
Представленное множество бф целиком не принадлежит ни одному из классов Поста.
Если мн-во F целиком какому-либо классу Поста,то в силу замкнутости кл.Поста над мн-вом F не задается получить формулу для I,т.е. мн-во F не будет полным.
Достаточность. Пусть F- полное мн-во ,такое что над мн-ом F можно реализовать хотя бы базис.ь 1)Пусть fF fI0 ,fI1,f(0….0)=1
f(1…1)=0
2)Пусть fF fI0 ,fI1
3)Пусть fF fI0 ,fI1
Итог: Анализируя принадлежность фун-ий мн-ву р первым двум классам, мы можем получить 3 варианта:1)реализовать только отрицание,восп-ся тем,что в мн-ве F есть g,которая не явл самодвойственной и из нее можно получить const 0 и 1.
2)удастся получить 2 конст – и 1 ,восп тем что в мн-ве F есть nM,из нее можно получить отрицание.
3)удастся получить две конст и отрицание.
Таким образом с использованием функции не прик. Четырем классам всегда можно реализовать конст и отрицание.В мно-ве F найдется фун-ция pL,с испл. Конст. И отр из нее всегда можно получить коньюкцию.
Вывод:Если мн-во F целиком не содержится ни в одном из классов Поста,то это множество явл. полным ,т.е. над ним можно реализовать базис