11.Математичнi властивостi дисперсiї.

1).Якщо вiд кожної варiанти вiдняти якусь постiйну величину А чи додати, то дисперсiя вiд цього не змiниться.

2).Якщо кожну з варiант подiлити чи помножити на якесь число "i", то дисперсiя зменшиться чи збiльшиться в i² раз.

3).Середнiй квадрат вiдхилень i iндивiдуальних значень ознаки (Х1, Х2, ..., Хn) вiд середньої (Х¯) завжди менший вiд середнього квадрату вiдхилень iндивiдуальних значень ознаки (Х1, Х2, ..., Хn) вiд будь-якої вiльнообраної величини А на квадрат рiзницi середньої(Х¯) i величини А.

σ_x¯²=(∑(X-X¯)²)/n;

σ_A²=(∑(X-A)²)/n;

σ_x¯²=σ_A²-(X¯-A)².

4).Середнiй квадрат вiдхилень (дисперсiя) може бути обчислена спрощенно за формулою

σ²=(X²)¯-(X¯)²;

(X²)¯=(∑X²)/n;

(X¯)²=(∑X²f)/∑f.

12.Дисперсiя альтернативної ознаки.

Альтернативна ознака - ознака, яка однiй частинi сукупностi властива, а iншiй - не властива. Дисперсiя альтернативної ознаки обчислюється за формулою :

σ²=W(1-W).

Максимальне значення альтернативної ознаки становить 0,25.

10.Основнi характеристики мiри I ступеню варiацiй.

Можливiсть вивчення мiри "розсiювання"(наближеностi) iндивiдуальних значень ознаки по вiдношенню до середньої дають показники другої групи, якими є:

1.Розмах варiацiї.

R=Xmax-Xmin

Цей показник, як бачимо, грунтується лише на крайнiх числових значеннях ознаки, а тому вiн не є досить надiйним.

Слiд мати показник, який грунтувався б на всiх без вийнятку вiдхиленнях iндивiдуальних значень ознаки вiд середньої.

Х1-Х¯, Х2-Х¯, ... ,Хn-Х¯ : вiдхилення iндивiдуальних значень вiд середньої

Таким показником є:

2.Середнє лiнiйне вiдхилення.

d¯=(∑|X-X¯|)/n àякщо данi не згрупованi;

d¯=(∑|X-X¯|f)/∑f àзгрупованi.

Середнє вiдхилення (d¯) показує наскiльки в середньому вiдрiзняються iндивiдуальнi значення ознаки вiд свого середнього значення. Недолiком цього показника є те, що при його визначеннi є математичнi знаки. Бiльш надiйним показником мiри варiацiї є середнiй квадрат вiдхилень або дисперсiя.

3.Середнiй квадрат вiдхилень або дисперсiя.

σ²=(∑(X-X¯)²)/n àякщо данi не згрупованi;

σ²=(∑(X-X¯)²f)/∑f àзгрупованi.

Дисперсiя - величина абстрактна, не має одиницi вимiру.

Примітка до теми "Середнi величини": Якщо вiдхилення Х1-Х¯, ... ,Хn-Х¯ позначити через Х1,...,Хn, то середнiй квадрат вiдхилень обчислюємо за формулами середньої квадратичної простої та зваженої :

X¯=(∑X²)/n ;

X¯=(∑X²f)/∑f.

4.Середнє квадратичне вiдхилення.

За економiчним змiстом iдентичне з середнiм лiнiйним вiдхиленням, а за своїм числовим значенням цей показник завжди _ перевищує середнє лiнiйне вiдхилення. В симетричному розподiлi σ=1,25d.

σ=Öσ².

Наведенi вище показники характеризують мiру варiацiї дослiджуваної ознаки. Вони не можуть бути використанi для порiвняння ступеню однорiдностi сукупностi за двома рiзнойменними ознаками або ступеню однорiдностi двох сукупностей за однойменною ознакою, якщо середнi по цих сукупностях - рiзнi.

Тому для розв'язання вказаних вище завдань, тобто для порiвняння варiацiй, застосовується спецiальний показник, яким є коефiцiєнт варiацiї.

5.Коефiцiєнт варiацiї = показник ступеню варiацiї.

V=(d¯/X¯)*100% ;

V=(σ/X)*100%.

Коефiцiєнт варiацiї показує наскiльки вiдсоткiв в середньому вiдрiзняються iндивiдуальнi значення ознаки вiд свого середнього значення.