Вопрос №32 (Космические скорости)

Для того, чтобы тело стало спутником Земли, т.е. двигалось по круговой околоземной орбите, ему нужно сообщить скорость v₁, значение которой определяется вторым законом Ньютона. Положив радиус орбиты равным радиусу Земли R, напишем уравнение mv₁²/R = mg. Здесь m – масса тела, v₁²/R – ускорение, mg – сила тяжести, действующая на тело. Из написанного уравнения следует, что . Эта скорость называется первой космической скоростью и она равна v₁ = 8 км/с. Скорость v₂, которую нужно сообщить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно вышло из сферы земного притяжения, называется второй космической скоростью. Для нахождения v₂ воспользуемся законом сохранения энергии. В момент запуска полная энергия тела равна E = mv₂²/2 – GMm/R, M – масса Земли. При удалении тела «на бесконечность» полная энергия становится равной нулю (мы ищем минимальное значение v₂, поэтому считаем, что скорость тела на бесконечности равна нулю). Приравняв выражение для энергии E нулю, получим для v₂ значение . Если пренебречь различием между силой тяжести mg и силой гравитационного притяжения тела к Земле, можно написать равенство mg = GMm/R². Отсюда GM/R = gR. Следовательно, выражение для v₂ можно представить в виде , которое равно 11 км/c. Отметим, что значение v₂ не зависит от направления, в котором запускается тело с Земли. От этого направления зависит лишь вид траектории, по которой тело удаляется от Земли. Скорость v₃, которую нужно сообщить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Подставив в вместо M массу Солнца и вместо R – радиус земной орбиты, получим значение скорости, равное 42 км/c. Такова была бы третья космическая скорость, если бы Земля в момент запуска была неподвижна и не притягивала бы тело к себе. Но Земля сама движется относительно Солнца со скоростью 30 км/c. Поэтому при запуске в направлении орбитального движения Земли скорость 42 км/с относительно Солнца достигается при скорости равной 42-30=12 км/c, а при запуске в противоположном направлении 42+30=72 км/с. Таковы были бы минимальное и максимальное значения v₃, если бы не было силы притяжения тела к Земле. С учетом этого притяжения для третьей космической скорости получаются значения от 17 до 73 км/с.

Вопрос №33 (Силы инерции в поступательно движущейся системе отсчета)

Законы Ньютона выполняются только в ИСО. Относительно всех ИСО данное тело движется с одинаковым ускорением w. Любая НИСО движется относительно ИСО с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела в НИСО отсчета w’ будет отлично от w. Обозначим разносить ускорений тела в ИСО и НИСО символом a: w – w’ = a. Для поступательно движущейся НИСО a одинаково для всех точек пространства (a = const) и представляет собой ускорение НИСО. Для вращательно движущейся НИСО a в разных точках пространства будет различным (a = a(r’), где r’ – радиус-вектор, определяющий положение точки относительно НИСО).

Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна F. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой ИСО равно w = F/m. Ускорение же тела относительно некоторой НИСО можно представить в виде w’ = w – a = F/m – a. Отсюда следует, что даже при F = 0 тело будет двигаться по отношению к НИСО с ускорением –a, т.е. так, как если бы на него действовала сила, равная –ma. Сказанное означает, что при описании движения в НИСО можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции F_in, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к ИСО и НИСО: F_in = -m(w – w’) = -ma. Соответственно уравнение второго закона Ньютона в НИСО будет иметь вид mw’ = F + F_in.