Вопрос №18(Потенциальная энергия взаимодействия)

Р ассмотрим систему из 2 взаимодействующих друг с другом частиц. Обозначим силу, с которой первыя частица действует на вторую символом F₂₁, а с которой вторая на первую – F₁₂. В соответствии с третьим законом Ньютона F₁₂=-F₂₁. Введем вектор R₁₂=r₂-r₁, где r₂ и r₁-радиус векторы частиц. Расстояние между частицами равно модулю этого вектора. Допустим, что силы F₁₂ и F₂₁ имеют модуль зависящий только от расстояния R₁₂ между частицами, и направлены вдоль соединяющей частицы прямой(кулоновское взаимодействие, гравитационные силы). F₁₂=f(R₁₂)e₁₂ и F₂₁=-f(R₁₂)e₁₂, Считая систему замкнутой напишем уравнение движения обеих частиц. m₁v^|₁=F₁₂ и m₂v^|₂=F₂₁. Умножим первое уравнение на dr₁=v₁dt, второе на dr₂=v₂dt и сложим их.=> m₁v₁v^|₁dt +m₂v₂v^|₂dt=F₁₂dr₁+F₂₁dr₂(1). Левая часть этого уравнения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время dt, правая – работу внутренних сил за то же время. Правую часть формулы можно записать следующим образом: dA_ВНУТР=F₁₂dr₁+F₂₁dr₂=f(R₁₂)e₁₂dr₁-f(R₁₂)e₁₂dr₂=-f(R₁₂)e₁₂d(r₂-r₁)= -f(R₁₂)e₁₂dR₁₂. Скалярное произведение e₁₂dr₁₂ равно dR₁₂ – приращение расстояния между частицами=> dA_ВНУТР=-f(R₁₂)dR₁₂. Это выражение f(R₁₂)dR₁₂ можно рассматривать как приращение некоторой функции от R₁₂. Обозначив эту функцию через U(R₁₂) приведем к равенству f(R₁₂)dR₁₂=dU(R₁₂)=> dA_ВНУТР=-dU. C учетом вышесказанного выражение (1) можно представить в виде dT=-dU или dE=d(T+U) = 0, откуда следует, что величина E=T+U для рассматриваемой замкнутой системы сохраняется. Функция U(R₁₂) представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояниями между частицами.

Вопрос №19 (Энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек)

Вопрос №20(Механическая энергия замкнутой системы частиц)

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, массами m1,m2…mN. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с силами F_ik, модули которых зависят только от расстояния между ними(R_ik) => эти силы – консервативные.=> Работа, совершаемая этими силами над частицами, определяется только начальным и конечным положением этих частиц. Предположим, что на i-ю частицу действует внешняя консервативная сила Fi и внешняя консервативная сила F*i. , Умножив на dsi=dri=v^|dt и сложив их => ,Первый член равен убыли потенциальной энергии взаимодействия частиц: ,Второй член равен убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил: , последний член равен работе неконсервативных внешних сил: , => d(T+U_ВЗ+U_ВНЕШН)=dA*_ВНЕШН(1). Величина Е=T+U_ВЗ+U_ВНЕШН есть полная механическая энергия системы.

Билет №21(Закон сохранения энергии для системы взаимодействующих частиц)

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, массами m1,m2…mN. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с силами Fik, модули которых зависят только от расстояния между ними(Rik) => эти силы – консервативные.=> Работа, совершаемая этими силами над частицами, определяется только начальным и конечным положением этих частиц. Предположим, что на i-ю частицу действует внешняя консервативная сила Fi и внешняя консервативная сила F*i. , Умножив на dsi=dri=v^|dt и сложив их => ,Первый член равен убыли потенциальной энергии взаимодействия частиц: ,Второй член равен убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил: , последний член равен работе неконсервативных внешних сил: , => d(T+U_ВЗ+U_ВНЕШН)=dA*_ВНЕШН(1). Величина Е=T+U_ВЗ+U_ВНЕШН есть полная механическая энергия системы. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, правая часть формулы(1) будет равна 0 => полная мех энергия =const. =>Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной. Для замкнутой системы E=T=U_ВЗ=const => закон сохранения энергии формулируется так: Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. Если же есть неконсервативные силы, то dE=d(T+U_ВЗ)=dA_{НЕКОНСЕРВ}.