Билет №22 (Закон сохранения импульса системы взаимодействующих частиц)

Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих частиц, массами m1,m2…mN. Пусть кроме внутренних сил на i-ю частицу действуют внешние силы, результирующая которых равна F_i. Напишем уравнение для всех N частиц: , и так до K=N. Сложим все N уравнений. Т.к.F₁₂+F₂₁=0 справа останутся только внешние силы. .Сумма импульсов частиц, образующих механическую систему, называется называется импульсом системы. Обозначив импульс символом p, получим, что , => Импульс – аддитивная величина. => . Отсюда вытекает, что при отсутствии внешних сил dp/dt = 0. Следовательно, для замкнутой системы p постоянен. Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса, который формулируется следующим образом: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Вопрос №23 (Система центра масс)

Вопрос №24 (Теорема Кенинга)

T_л = T_ц + mV_C²/2, где T_л – кинетическая энергия системы материальных точек, определяемая в л-системе, T_ц – кинетическая энергия, определяемая в ц-системе, m – суммарная масса системы, V_C – скорость центра масс в л-системе. Очевидно соотношение: R_i = R_C + r_i, где R_i – радиус-вектор i-й материальной точки в л-системе, R_C – радиус-вектор центра масс, r_i – радиус-вектор i-й точки, проведенный из центра масс. Дифференцирование этого соотношения дает: V_i = v_C + v_i. По определению . Первое слагаемое можно написать в виде: mV_C²/2 (m = m_i). Сумма m_iv_i эквивалентна mV_C, где V_C – скорость центра масс в ц-системе, т.е. нуль; следовательно, второе слагаемое равно нулю. Третье слагаемое есть T_ц. Таким образом, T_л = T_ц + mV_C²/2, что и требовалось доказать.

Вопрос №25 (Центр масс. Движение центра масс системы частиц)

Центром масс (или центром инерции) системы называется точка C, положение которой задается радиусом-вектором r_C, определяемым следующим образом: . Здесь m_i – масса i-й частицы, r_i – радиус-вектор, определяющий положение этой частицы, m – масса системы. Декартовы координаты центра масс равны проекциям r_C на координатные оси: , , . Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Импульс системы частиц может быть представлен в виде произведения суммарной массы частиц на скорость центра масс системы: p = mv_C. Скорость центра масс получается путем дифференцирования радиуса-вектора по времени: . Отсюда вытекает формула p = mv_C. Для замкнутой системы p = mv_C = const. Следовательно, центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным. Система отсчета, в которой центр масс покоится, называется системой центра масс или ц-системой. Эта система, очевидно, инерциальна.

Вопрос №26 (Упругое и неупругое соударение шаров)

При соударении двух тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается увеличением их температуры. Существует два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, модуль и направление которых определяются двумя условиями – сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел. Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней. Абсолютно неупругий удар: m₁v₁₀ + m₂v₂₀ = (m₁+m₂)/v. Из этого следует, что v=(m₁v₁₀+m₂v₂₀)/(m₁+m₂). Абсолютно упругий удар: m₁v₁₀²/2 + m₂v₂₀²/2 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 и m₁v₁₀+m₂v₂₀ = m₁v₁ + m₂v₂. Из этого следует, что v₁ = (2m₂v₂₀ + (m₁ - m₂)v₁₀)/(m₁ + m₂) и v₂ = (2m₁v₁₀ + (m₂ – m₁)v₂₀)/(m₁ + m₂).