Лекции Котова
.pdfПо предложению Морозова для области малых длин трещин введено понятие предела трещиностойкости.
|
|
σ |
|
2 |
|
|
|
|
|
C |
|
(41) |
|
IC = KIC 1− |
|
|
. |
|
||
|
|
σв |
|
|
||
Здесь KIC принимается постоянной характеристикой материала и |
|
|
||||
при l →0 σC →σв |
и IC → 0, |
|
|
|
||
при l → ∞,σC → 0 |
и IC → KIC . (рис. 19) |
|
|
|||
Испытывая образцы с трещиной, определяем σC и, зная величину |
KIC |
, строим |
||||
зависимость IС от l. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 19. Зависимость предела трещиностойкости от длины трещины
Вводя в анализ предел трещиностойкости на основе (35), имеем
σC = |
IC |
. |
(42) |
|
πl |
||||
|
fIK |
|
Уравнениями линейной механики разрушения можно пользоваться при нормальных напряжениях σn ≤ (0,5 ÷0,6)σT .
Для того, чтобы учесть реальные свойства материала на стадии упругопластического деформированияАВиВС(рис. 15), можноиспользоватькоэффициентыинтенсивностипо(28).
При разрушении
K Iσ =σ C 2 (K IC )2m1+m ,
|
(43) |
K IC = |
σC πl fIK , |
|
σT |
где:
σC = σC ;
σT
m - показатель упрочнения.
Таким образом, при расчетах на хрупкую прочность используют следующие силовые критерии разрушения: σC , KIC , KC , IC , KIσ .
21
3.3. Нормирование предельных состояний
По уравнениям (35) - (43) можно решать следующие задачи:
1. Определять критические напряжения σC при известных силовых критериях и
размерах трещин ( l ) в конструкциях, а по найденному критическому напряжению устанавливать запасы прочности.
2. По известным силовым критериям разрушения и номинальным напряжениям в конструкции σ =σn можно определять критические размеры трещин.
3.4. Деформационные критерии разрушения
Деформационные критерии разрушения использовались В.В.Панасюком, Е.М. Морозовым, А.Уэлсом, Ф. Макклинтоком.
Для хрупкого тела (линейная механика разрушения) деформации полностью определяются величинами KI и для области упругих деформаций (ОА - рис. 14) вводить
деформационные критерии не имеет смысла.
Для идеальнопластического материала на основе решений (24), (25) была разработана концепция критического раскрытия трещины (КРТ - критерий), согласно которому разрушение тела с трещиной произойдет, если величина смещения противоположных берегов трещины в ее вершине достигнет своего критического значения (рис. 20).
δ =δC при σ =σC . |
(44) |
3.4.1. Критерий δC
Рис. 20. Схема раскрытия трещины |
|
|
|
По Ирвину с использованием выражения δ = |
πσC |
2l |
=δC и σC πl = KIC |
|
|
||
|
EσT |
получаем:
δC = |
KIC |
2 |
, |
(45) |
|
EσT |
|||||
|
|
|
δC - критерий Уэлса.
22
При хрупком разрушении (45) эквивалентно (35), т. е. силовые и деформационные критерии взаимозаменяемы.
Если происходит упругопластическое перераспределение, то на основе (25)
|
8σT l |
|
π |
|
|
|
|
δ = |
|
σC |
=δC = const. |
(46) |
|||
|
|
||||||
πE |
lnsec |
2 |
|
||||
|
|
σT |
|
|
При любых значениях δC разрушение будет достигнуто, когда σC σT →1. Если (46) разложить в ряд, то получится первый член, соответствующий
решению линейной задачи с l =lT
δ |
C |
= |
πσ 2l |
. |
(47) |
|
σT E |
||||||
|
|
|
|
|||
Удобство использования (46) состоит в том, что величины σT и δC |
могут быть измерены |
|||||
в опытах и на практике. |
Справедливость (46) сохраняется |
при σC /σT <1, а |
распространение его на материалы с упрочнением достигается путем введения условного предела текучести
σ′ |
≈ |
σT +σв |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
T |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и тогда при l →0 σC →σT′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для других расчетных схем (46) записывается в виде |
|
|||||||
|
|
8σT l |
|
|
π |
|
|
|
δC |
= |
|
|
σC |
(48) |
|||
|
|
|
||||||
|
πE |
lnsec |
2 |
fIK . |
||||
|
|
|
|
|
σT |
|
3.4.2. Критерий KIeC
Для отражения роли перераспределения деформаций можно использовать коэффициент интенсивности деформаций
|
|
Ie |
= |
|
2 ( |
|
|
I )2 (1+m), |
|
|
|
||
|
K |
σ |
K |
(49) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 ( |
|
|
IC )2 (1+m) |
||||
|
K |
Ie |
= |
σ |
C |
K |
= |
K |
IeC . |
||||
Критическая величина |
KIeC устанавливается по величинам, входящим в (36). |
3.4.3.Критерий rC
Вкачестве другого деформационного критерия разрушения можно использовать
протяженность |
пластической зоны rT . На основе выражений (15), (16), (47) при |
σ =σC ,δT =δC |
получим rT = rC . При этом |
23
|
|
|
|
2 IC |
|
σC |
2l |
|
δC E |
|
|
r |
= |
|
K |
= |
= |
. |
(50) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
C |
|
2πσT 2 |
|
2σT 2 2πσT |
|
||||||
|
|
|
|
3.4.4. Критерий eC
Деформации в упругопластической зоне (при r<rC) определяются путем
приравнивания деформаций ey к величине eT |
на границе пластической зоны: |
ey = eT (rT r), |
(51) |
и если r = rC ,то ey = eT , а разрушающая деформация |
|
eC = eT . |
(52) |
Для материалов со значительным упрочнением согласно (27) и (52) расчетная разрушающая деформация будет равна:
eC = ( |
K IeC |
)nre |
, |
(53) |
2πrC |
где |
|
IeC = |
|
IC 2 (1+m);nrC = 2 (1+m). |
K |
K |
В результате экспериментальных и теоретических исследований было установлено, что разрушающую деформацию в вершине трещины можно определить, проведя испытания стандартных образцов на одноосное растяжение. При этом учитывается влияние объемности напряженного состояния в вершине трещины.
Разрушающая деформация при критическом состоянии в вершине определяется следующим образом
e |
C |
= 0,554 |
e |
f , |
(a) |
|
||
|
C |
= 0,08 |
|
f , |
(б) |
(54) |
||
e |
e |
(а) - плоское напряженное состояние; (б) - плоское деформированное состояние;
e f - разрушающая деформация при одноосном растяжении.
Таким образом, к деформационным критериям разрушения относятся lC ,δC ,rC , KIeC . На их основе можно решать те же задачи, что с помощью силовых критериев. Однако они дают большие возможности при проведении упругопластического анализа.
24
3.5.Энергетические критерии разрушения
Видеально упругом теле напряжения и деформации в вершине трещины определяются формулами
σ y = |
KI |
;ey = |
KI . |
|
2πr |
|
E 2πr |
Энергия деформаций в вершине трещины
γ=1/ 2σ y ey .
ипри заданном r (обеспечивающем πr =1) получим
γ=1/ 2 K I 2 / E.
При достижении критического состояния |
величины |
KI |
и γ достигнут |
|||
критических значений |
|
|
|
|
|
|
KI=KIC и γ =γC . |
|
|
|
|
|
|
Для пластины бесконечных размеров с центральной трещиной |
|
|||||
KIC =σC πl ;γC =1/ 2 |
σ |
C |
2 π l |
, |
|
|
|
E |
|
(55) |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
σC = |
2EγC |
|
πl |
||
|
-формула Гриффитса,
γC - энергия, необходимая для образования новых поверхностей трещин или
поверхностная энергия.
Для идеально упругого тела (35) и (55) дают один и тот же результат и
энергетический критерий γC |
|
эквивалентен силовому KIC. |
|
|||
γC |
= |
1 |
K 2 IC |
. |
(56) |
|
2 |
E |
|||||
|
|
|
|
Для металлов характерно образование пластических деформаций. Поэтому общая энергия, необходимая для образования новых поверхностей разрушения, является суммой энергий упругих деформаций (энергий поверхностного натяжения по Гриффитсу) и энергии пластических деформаций.
γK = γ y +γP . |
(57) |
Опыты Орована показали, что для металлов γP >> γ y |
(рис. 21), в связи с чем |
уравнение (55) записывается в виде |
|
25
σC |
2EγP |
- уравнение Орована. |
(58) |
|
πl |
||||
|
|
|
Недостатком уравнения Орована является то, что оно не учитывает перераспределение напряжений и деформаций.
Рис.21. Графическое |
представление энергии упругих γ y и |
пластических γP |
деформаций |
3.5.1. Критерий Ирвина
Обобщая работы Гриффитса и Орована, Ирвин сформулировал концепцию квазихрупкого разрушения, считая, что энергия G , необходимая для продвижения трещины на единицу длины, оценивается энергией местных напряжений σ y в вершине
трещины на перемещения Vy
2Gdl = dl∫2Vyσ y dr, где
0
Gdl - энергия на продвижение трещины.
При этом в вершине трещины напряжения σ y совершают работу на перемещениях V (рис. 22).
Рис. 22. Схема продвижения трещины
Подставляя вместо Vy и σ y |
значения по (11), (13) при θ = 0, получаем |
G = KI / E. |
(59) |
26
Если величина G достигнет критического значения в GC , то трещина будет распространяться самопроизвольно, т.е. критерием разрушения является условие
G ≥ GIC . |
(60) |
Тогда (59) будет
GIC = KIC |
2 / E. |
(61) |
Уравнение (61) показывает, что к моменту достижения условия (60) в вершине трещины формируется поле критических напряжений, описываемое KIC . На основе (60) с учетом
(45), (50), (56)
G |
IC |
= |
K 2 IC |
= 2γ |
C |
=δ |
C |
σ |
T |
= r |
2πσ 2 |
. |
(62) |
|
|
||||||||||||
|
|
E |
|
|
|
C |
E |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(62) - основополагающее уравнение ЛМР, из которого следует, что деформационные δC ,rC , энергетические GIC ,γC критерии выражаются через силовой критерий KIC . Именно
этот критерий получил наибольшее распространение, т.к. экспериментальная методика его определения отличается простотой.
При возникновении развитых пластических деформаций в вершине трещины в критериальные выражения для KIC ,γC и GIC должны вводиться соответствующие
поправки на размер пластической зоны, а при приближении σC →σT эти критерии
вообще становятся неприемлемыми.
Для этой области критических напряжений может быть использован энергетический критерий, как наиболее общий. Однако его вычисление является достаточно сложным.
Более простой подход предложен Райсом и Черепановым на основе использования J-интеграла.
3.5.2. J-интеграл
Рассмотрим контур S , выделенный в деформируемом теле. Энергия внешних сил при нагружениипереходитвэнергиюдеформацииисуммарнаяэнергиятеланеменяется.
J S = ∫(wdy −T du dx dS ), |
(63) |
S |
|
где S- замкнутый контур, который нужно обойти против часовой стрелки, окружающий в напряженном твердом теле некоторую область (рис. 23);
Т- вектор напряжений, перпендикулярный контуру S и направленный во внешнюю сторону;
U - перемещение вдоль оси X;
w = ∫σde - энергия деформации единицы объема.
27
Рис. 23. Схема определения J-интеграла
Райсприменилэтотинтегралкзадачеотрещине. Рассмотримзамкнутыйконтур S (1-2-3-4-5- 6-1) вокругвершинытрещины(рис. 24). Интегралпоэтомуконтуруравеннулю.
На контуре S выделим участки (S1)1,2,3; (S2)6,5,4 и участки I - 6 и 3 - 4, тогда
J S = J S1 + J S2 + J1,6 + J3,4 .
Поскольку на участках берегов трещины 1-6 и 3-4 величины σ = 0 , то и Т = 0 и dy=0 и их вклад в интеграл равен нулю. Поэтому интеграл по контуру 1-2-3 должен быть равен (с обратным знаком) интегралу по контуру 4-5-6. Это означает, что величина незамкнутого интеграла не зависит от пути интегрирования, т.е.
J S |
= J S |
. |
(64) |
1 |
|
2 |
|
Рис. 24. Контур обхода вершины трещины
Предположим, что интеграл (J )S2 должен вычисляться для пластической области
(S2 лежит в зоне пластичности), однако выполнить это невозможно. В этом случае |
||
переходим к (J )S1 для S1 |
в упругой области и решаем задачу. |
JC (в момент |
В экспериментах |
для получения критического значения |
разрушения) контур интегрирования можно выбрать в простейшей форме (рис. 25)
Рис. 25. Контур обхода трещины при эксперименте
28
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
J |
C |
= |
w |
−T |
∂v dy . |
|||
|
||||||||
|
|
∫ |
dx |
|
∂y |
|
||
|
|
|
S |
|
|
Интеграл не равен нулю, т.к. контур интегрирования разомкнут.
Величину TdV можно получить как энергию сил Р на перемещениях V. Если испытать два образца с длиной трещины l и l+dl, то можно получить две
диаграммы Р - V (рис. 26), тогда энергия сил P dUp= dA
Рис.26. Экспериментальное определение J - интеграла
Можно считать, что эта энергия израсходована на приращение трещины в случае упругопластических деформаций.
JC = dA/ dl |
(65) |
|
- критерий Черепанова-Райса. |
29
4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЕВ РАЗРУШЕНИЯ
Критерии механики разрушения устанавливаются по данным испытаний лабораторных образцов с трещинами.
Основные типы образцов и схемы их нагружения показаны на рис. 27.
а) цилиндрический образец для испытаний на осевое растяжение или изгиб;
б) плоские образцы для испытаний на осевое растяжение;
в) образец для испытаний на трехточечный изгиб;
г) прямоугольный образец для испытаний на внецентренное растяжение
Рис. 27. Основные типы образцов для определения характеристик трещиностойкости
По |
аналогии с обычной диаграммой растяжения гладкого образца |
P − |
l механике разрушения с помощью датчика раскрытия трещины |
(рис. 28) на 2-х координатных приборах регистрируется диаграмма Р - V ( V - раскрытие трещины) (рис. 29).
30