20. Кинетическая энергия твёрдого тела в различных случаях его движения.

При поступательном движении твёрдого тела скорости всех его точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси скорость его произвольной точки

- кратчайшее расскояние от точки

Тогда

При плоском движении твёрдого тела относительная скорость произвольной точки и, следовательно, согласно формуле Кенига

При сферическом движении твёрдого тела скорость произвольной точки определяется формулой Эйлера

преобразуем формулу

С учетом

кинетическую энергию твёрдого тела при сферическом движении можно записать

Если оси Oxyz направить по главным осям инерции тела для точки О, то

В общем случае движения свободного твёрдого тела в пространстве, которое можно рассматривать как совокупность поступательного переносного движения вместе с центром масс и сф. движения по отношению к этому центру, относительная скорость произвольной точки тела и, следовательно, кинетическая энергия тела

21. Теорема об изменении кинетической энергии для точки и системы материальных точек.

В дифф. форме:

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

В интегральной форме:

Изменение кинетической энергии точки на любом перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Движение точки массой m под действием силы определяется уравнением

или

Умножив обе части уравнения скалярно на , после преобразований

получим

Разделив обе части уравнения на dt, получим ещё одну запись теоремы об изменении кинетической энергии точки

Интегрируя обе части по криволинейной траектории имеем

Теорема об изменении кинетической энергии для механической системы.

Дифф. форма:

Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Первая производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы

В интегральной форме

Изменение кинетической энергии системы при её перемещении из одного положения в другое равно суме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек приложения этих сил.

Для механической системы, на которую действуют как внешние, так и внутренние силы, уравнение можно представить в виде

(I)

Суммируя левые и правые части этих уравнений по всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем

Разделим обе части уравнения на dt

Проинтегрируем каждое уравнение (I) по соответствующей ему криволинейной траектории. Просуммировав полученные выражения по все точкам системы, получим

22. Потенциальное силовое поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля.

Силовым полем называется часть пространства, в котором на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки и времени

Если сила явно не зависит от времени, то силовое поле называется стационарным.

Стационарное силовое поле называется потенциальным, если проекции силы на оси Ох, Оу, Oz можно выразить через скалярную функцию по формулам

(I)

т.е.

Функция называется силовой функцией. Из (I) следует, что силовая ф-я U определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Потенциальной энергией материальной точки в данной точке потенциального силового поля называют работу, производимую силой, действующей на точку в потенциальном силовом поле, при её перемещении из рассматриваемой точки поля в начальную ., условно принимаемую за нулевую