- •II семестр
- •Аксимомы динамики. Инерциальная система отсчета.
- •Дифференциальные уравнения движения точки в векторной форме и в проекциях на декартовы и естественные оси координат.
- •Две основные задачи динамики точки. Интегралы уравнений движения.
- •Диф. Уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета.
- •Принцип относительности Галилея-Ньютона.
- •Центр масс системы материальных точек. Теорема о движении центра масс. Частные случаи.
- •2. Пусть теперь проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на одну из осей (например, ось Ох) равна нулю , тогда из первого уравнения (6) следует , а значит
- •Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной формах. Частные случаи.
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.
- •Кинетический момент точки и системы материальных точек относительно центра и оси.
- •Теорема об изменении кинетического момента для точки и системы материальных точек. Законы сохранения кинетического момента.
- •Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения.
- •Дифференциальные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси.
- •Движение точки под действием центральной силы, теорема площадей.
- •Кинетический момент системы материальных точек при сложном движении.
- •Теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек в относительном движении по отношении к центру масс.
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твёрдого тела.
- •Элементарная и полная работа силы. Мощность. Работа равнодействующей силы.
- •Работа сил, приложенных к твёрдому телу при его различных движениях.
- •Кинетическая энергия точки и системы материальных точек. Теорема Кенига.
- •Кинетическая энергия твёрдого тела в различных случаях его движения.
- •Теорема об изменении кинетической энергии для точки и системы материальных точек.
- •Потенциальное силовое поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля.
- •Поверхности уровня и их свойства.
- •Примеры вычисления силовых функций однородного поля силы тяжести и линейной силы упругости.
- •Закон сохранения полной механической энергии системы.
- •Принцип Даламбера для точки и системы материальных точек.
- •Главный вектор и главный момент сил инерции в общем и частном случаях движения твёрдого тела.
- •Связи и их классификация.
- •Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи. Примеры.
- •Принцип возможных перемещений.
- •Общее уравнение динамики (механики)
- •Обобщенные силы. Способы вычисления обобщенных сил.
- •Условия равновесия механической системы, выраженные в обобщенных силах.
- •Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода.
- •Момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через заданную точку в заданном направлении.
- •Эллипсоид инерции. Главные оси инерции симметричных твёрдых тел.
Теоретическая механика
II семестр
Аксимомы динамики. Инерциальная система отсчета.
- Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, по отношению к которым материальная точка, не испытывающая действия или находящаяся вод действием уравновешенной системы сил, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
- Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силы и совпадает с ней по направлению.
- Силы взаимодействия двух материальных точек направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны и равны по модулю
- Ускорение, полученное точкой под действием системы сил, равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил
Дифференциальные уравнения движения точки в векторной форме и в проекциях на декартовы и естественные оси координат.
Из второй и четвёртой аксиом следует уравнение движения в инерциальной системы отсчёта:
Где F – равнодействующая всех сил, приложенных к точке.
Векторное дифф. уравнение движения точки:
Диф. уравнения в проекциях на декартовы оси:
(1)
В проекциях на естественные оси:
Две основные задачи динамики точки. Интегралы уравнений движения.
Первая задача состоит в том, чтобы по заданному закону движения точки массой m определить силу, под действием которой происходит это движение.
Вторая задача состоит в определении движения точки по заданным силам и начальным условиям движения, при этом силы должны быть выражены как функции переменных, используемых для задания движения.
Решение этой задачи сводится к интегрированию диф. уравнений второго порядка, в процессе которого в решениях появляются произвольные постоянные.
В задаче о движении точки в трехмерном пространстве общие решения будут содержать шесть произвольных постоянных:
Если начальные условия поставлены для начальных значений функций и их первых производных, т.е. в виде
то задача Коши имеет единственное решение. Т.о. приложенные к точке силы определяют только её ускорение, движение же точки помимо сил зависит от начальных условий – положения точки в рассматриваемой инерциальной системы отсчета и её скорости.
Первым интегралом системы дифференциальных уравнений (1) называется функция
Выражение
называется производной по времени функции , вычисленной в силу дифференциальных уравнений (1).
Для того чтобы полностью найти закон движения материальной точки, достаточно найти шесть функционально независимых первых интегралов.
Пусть
- шесть независимых первых интегралов системы (1).
Т.к. по условию - функционально независимы получаем общее решение системы:
Диф. Уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета.
Неинерциальной называется система отсчета, которая с ускорением движется относительно другой, инерциальной системой отсчета.
Представим ускорение точки в виде трёх составляющих
Разрешая полученное выражение относительно
находим
Где - переносная сила инерции и - кориолисова сила инерции.
Формулы для ускорений в общем случае перносного движения:
Т.е. векторное уравнение движения в неинерциальной системе отсчета:
(2)
Если учесть кинематические соотношения
то (2) можно представить в форме дифференциального уравнения относительно движения точки
,
если точка является несвободной, то к активным силам добавятся реакции связи.