11. Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения.

Главный момент количеств движения вращающегося тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на проекцию угловой скорости вращения тела на ось вращения.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью . Определи главный момент количеств движения этого тела относительно оси Oz. Согласно определению

(10)

Проекция скорости точки тела на касательную к траектории её движения

а момент количества движения относительно оси Oz

где . Подставив в (10), получим

Где - момент инерции тела относительно оси вращения . Окончательно имеем:

Знак - главного момента количеств движения твёрдого тела относительно оси вращения – определяется знаком проекции угловой скорости

12. Дифференциальные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси.

В случае вращения вокруг неподвижной оси тело имеет одну степень свободы. По теореме об изменении главного момента количеств движения мех. системы относительно оси вращения Oz

Где для твёрдого тела . Тогда

Это выражение называется дифференциальным уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Его можно записать в виде

или

Начальные условия для случая вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси следующие:

13. Движение точки под действием центральной силы, теорема площадей.

Рассмотрим движение точки М массой m под действием силы , линия действия которой проходит через центр О во всё время движения точки М. Такую силу называют центральной.

Траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской привой, лежащей в плоскости, проходящей через центр силы.

Согласно определению центральной силы, момент силы относительно точки О

и из следует, что

или

В проекциях:

Умножая первое на x, второе на у, третье на z и складывая полученные выражения, получаем

Т.е. координаты точки М(x,y,z) удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начала координат.

Теорема площадей.

Запишем выражение для момента количества движения материальной точки , используя формулу для секторной скорости

Преобразуем

или

Записанную в таком виде теорему об изменении момента количества движения материальной точки называют теоремой площадей.

14. Кинетический момент системы материальных точек при сложном движении.

Главный момент количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О для абсолютного движения системы равен векторной сумме момента вектора количество абсолютного движения системы (приложенного в центре масс) относительно того же центра, и главного момента количеств движения системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к центру масс

.

(11) В проекции на ось OZ:

Введем подвижную систему координат CXYZ, которая двигается поступательно по отношению к инерциальной системе отсчета Оxyz и начало которой связано с центром масс С системы. Подвижную СК CXYZ называют кенинговой системой координат. продифференцируем по времени выражение

Тогда

Согласно формуле Бура

Но при поступательном движении системы CXYZ

Главный момент кол-ва движения мех. системы относительно неподвижного центра О для абсолютного движения системы относительно неподвижной (инерциальной) системы координат Oxyz равен

Подставляя сюда выражения для и

Здесь так как радиус-вектор центра масс относительно центра масс , а следовательно

Т.е. количество движения системы в её движении относительно центра масс равно нулю.

Таким образом:

(11)

Где - главный момент количеств движения мех. системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к центру масс (по отношению к СК CXYZ, движущейся поступательно вместе с центром масс)

В проекции на ось Oz (CZ) формула (11) принимает вид