7. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной формах. Частные случаи.

Количеством движения материальной точки М называют вектор, равный произведению массы m точки на её скорость

Количеством движения механической системы называют вектор , равный геометрической сумме количеств движения точек системы:

Вектор называют также главным вектором количеств движения точек материальной системы.

Элементарным импульсом силы , действующей в течении времени dt,

Теорема в дифференциальной форме.

Первая производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на материальные точки этой системы.

Запишем теорему о движении центра масс механической системы в виде

Окончательно имеем:

(7)

Получим отсюда еще одну дифф. форму теоремы

(8)

Таким образом, дифференциал количества движения механической системы равен сумме элементарных импульсов внешних сил, действующих на материальные точки системы.

Теорема в интегральной форме

Изменение количества движения системы за время t равно векторной сумме полных импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.

Проинтегрируем (8) по времени в пределах от 0 до t и поменяем местами операции интегрирования и суммирования:

- соответственно количества движения мех. системы в произвольный и начальный моменты времени. - полный импульс внешней силы, действующей на k-ю материальную точку.

8. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

При поступательном движении тела его угловая скорость, а следовательно и главный момент количеств движения относительно центра масс тождественно равны нулю. На основании теоремы о движении центра масс механической системы, уравнение применительно к рассматриваемому случаю имеет вид

Запишем его в виде векторного дифференциального уравнения поступательного движения твёрдого тела.

В проекциях на декартовы оси координат:

В общем случае поступательного движения тело имеет три степени свободы и его движение можно задать, определив движение центра масс тела в декартовой системе координат.

В проекциях на естественные оси координат:

9. Кинетический момент точки и системы материальных точек относительно центра и оси.

Моментом количества движения материальной точки (кинетическим моментом) массой m относительно центра О называют векторную величину, равную векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведённого из этого центра, на количество движения точки:

Так как

то моменты количества движения материальной точки относительно осей координат имеют вид

10. Теорема об изменении кинетического момента для точки и системы материальных точек. Законы сохранения кинетического момента.

Первая производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна моменту равнодействующей силы относительно того же центра О.

Уравнение движения мат. точки::

умножим его векторно слева на радиус-вектор

Преобразуем левую часть полученного уравнения

Но как векторное произведение коллинеарных векторов.

Первая производная по времени от главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно того же центра.

(9)

Рассмотрим мех. систему из N материальных точек, к каждой из которых приложены равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точки запишем теорему об изменении момента количества движения относительно неподвижного центра О.

Просуммировав по всем точкам

и преобразовав левую часть уравнения получим:

Здесь - главный момент количеств движения механической системы относительно центра О.

Главный момент внутренних сил

а главный момент внешних сил

Окончательно имеем: (9)

Законы сохранения:

1. Закон сохранения главного момента количеств движения механической системы относительно центра О в векторной форме:

Если главный момент внешних сил относительно неподвижного центра О равен нулю, то главный момент количеств движения механической системы относительно этого центра постоянен по модулю и направлению.

Пусть главный момент внешних сил системы относительно центра О равен нулю, т.е. . Тогда, согласно (9)

Интегрируя, получаем

2. Если главный момент внешних сил, действующих на механическую систему, относительно какой-либо оси равен нулю, то главный момент количеств движения механической системы относительно этой оси постоянен.

Пусть сумма внешних моментов внешних сил, действующих на механическую систему, относительно оси Ох равна нулю, т.е. . Тогда

Если рассматривается тело или система тел, вращающихся вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью и , то .