Принцип относительности Галилея-Ньютона.
В различных инерциальных системах все явления протекают одинаково
- уравнение системы
сил.
Центр масс системы материальных точек. Теорема о движении центра масс. Частные случаи.
Механическая система – совокупность материальных точек, положение или движение каждой из которых определяется положением или движением других точек этой совокупности.
Статический момент масс точек относительно к.л. центра О
Момент инерции системы относительно центра О
Статический момент
массы мех. системы относительно к.л.
точки О равен произведению массы системы
на
радиус-вектор центра масс
Откуда
(3)
Проецируем (3) на оси координат
|
Выражения
называют статическими моментами массы системы относительно координатных плоскостей. Отсюда имеем
Теорема о движении центра масс
Центр масс механической системы движется как материальная точка, как бы обладающая массой системы, под действием системы всех внешних сил, действующих на точки системы.
|
Запишем уравнения движения механической системы в виде
(4)
Где
-ускорение
k-й
точки,
-
равнодействующие внешних и внутренних
сил, действующих на k-ю
точку.
Просуммируем уравнения (4) по всем точкам механической системы:
Здесь главный
вектор внутренних сил
Дважды продифференцируем по времени (3)
где
-
абсолютная скорость центра масс системы.
Т.о.
(5)
Где
-
главный вектор сил, действующих на
механическую систему.
В проекциях на координатные оси:
(6)
Следствия.
1. Если главный вектор внешних сил, действующих на точки мех. системы, равен нулю, то центр масс мех. системы движется прямолинейно и равномерно.
Если главный вектор
внешних сих, действ. на систему равен
нулю, то из (5) следует, что
,
откуда после интегрирования получаем
Интегрируя, получаем
Постоянные
определяем
из начальных условий: при
.
Для текущего момента времени при
окончательно
имеем
Если
,
т.е. центр масс в начальный момент времени
находится в покое, то
т.е. центр масс покоится в течение всего времени движения системы при условии, что
***
Воспользуемся
этим условием (
)
и запишем для текущего и начального
положений мех. системы
и
.
Вычитая из первого выражения второе,
получаем
Следовательно, отдельные точки системы могут перемещаться при и покоящемся центре масс.
***
2. Пусть теперь проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на одну из осей (например, ось Ох) равна нулю , тогда из первого уравнения (6) следует , а значит
Постоянные определяем из начальных условий: при
.
Для любого момента времени при
окончательно имеем
Если
т.е.
проекция скорости центра масс на ось
Ох в
начальный момент времени равна нулю,
то
в любой момент времени.
***
Воспользуемся и, согласно (6) напишем для текущего и начального моментов времени
Вычитая из первого уравнения второе, получим
Из уравнения
следует, что перемещение
k-й
точки
вдоль оси Ох существует при
и отсутствии перемещений вдоль этой
оси центра масс