• Найдите математическое ожидание случайной величины y, получаемой в ходе репрезентативного социологического опроса в России.

Задача 6.7. Проводится опрос 100 экспертов относительно эффективности деятельности А.В. Петькина на посту губернатора области N. Каждому эксперту предлагается оценить деятельность губернатора по 4-хбалльной шкале:

• – 2 (совершенно неэффективная)

• – 1 (скорее, неэффективная)

• 1 (скорее, эффективная)

• 2 (совершенно эффективная)

Получено следующее процентное распределение значений случайной величины Х:

Значения	– 2	– 1	1	2
Проценты	0.3	0.4	0.2	0.1

На основании имеющихся данных:

• Рассчитайте средний балл, полученный А.В. Петькиным при опросе 100 экспертов

• Постройте на основе процентного распределения полигон относительных частот

• Рассчитайте значения функции распределения случайной величины X на основе процентного распределения

• Постройте на основе процентного распределения кумуляту (график функции распределения). Проинтерпретируйте построенный график

• Рассчитайте значения функции риска для случайной величины X на основе процентного распределения

• Постройте на основе процентного распределения график функции риска для случайной величины X. Проинтерпретируйте построенный график

Задача 6.8. Вернемся к предыдущей задаче и рассмотрим результаты опроса не всех 100 экспертов, а лишь подмножества оппозиционно настроенных. Ниже представлены значения функции риска для случайной величины X – балл, выставленный экспертом-оппозиционером, деятельности губернатора.

Значения	– 2	– 1	1	2
Проценты	1	0.5	0.2	0.05

На основе значений функции риска требуется:

• Дать содержательную интерпретацию значениям функции риска

• Построить график функции риска

• Построить ряд распределения случайной величины Х

• Вычислить значения функции распределения случайной величины Х

• Построить кумуляту (график функции распределения случайной величины Х)

Задача 6.25. Проводится серия из 5 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой бросание монетки. В каждом из случайных экспериментов фиксируется выпадение «орла» (О) или «решки» (Р).

• Сколькими способами в серии из 5 бросаний монетки может быть получено 3 орла и 2 решки?

• Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний монетки наступит следующая комбинация элементарных исходов: ОРОРО?

• Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний монетки выпадет одна из подобных комбинаций элементарных исходов, включающая в себя три «орла» и две «решки»?

Задача 6.26. Проводится серия из 5 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой бросание кубика. Успехом в каждом из пяти случайных экспериментов считается исход, в котором выпала шестерка.

• Сколькими способами в серии из 5 бросаний кубика шестерка может выпасть 4 раза?

• Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний кубика выпадет следующая комбинация элементарных исходов: УНУУУ?

• Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний кубика выпадет одна из подобных комбинаций элементарных исходов, включающая в себя четыре «успеха» и один «неуспех»?

Задача 6.27. Проводится серия из 6 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой бросание монетки. В каждом из случайных экспериментов фиксируется выпадение «орла» (О) или «решки» (Р).

• Сколькими способами в серии из 6 бросаний монетки может быть получено 4 «орла» и 2 «решки»?

• Какова вероятность того, что в серии из 6 бросаний монетки наступит следующая комбинация элементарных исходов: ОРРООО?

• Какова вероятность того, что в серии из 6 бросаний монетки выпадет одна из подобных комбинаций элементарных исходов, включающая в себя 4 «орла» и 2 «решки»?

Задача 6.28. Проводится серия из 5 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой случайное извлечение шара из урны. После извлечения шар возвращается в урну, благодаря чему состав шаров в урне не изменяется. Всего в урне 3 черных и 7 белых шаров. «Успехом» считается исход, в котором был извлечен белый шар.

• Сколькими способами в серии из 5 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирован результат «белый шар был извлечен дважды»?

• Какова вероятность того, что в серии из 5 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирована следующая комбинация элементарных исходов: УНУНН?

• Какова вероятность того, что в этой серии случайных экспериментов белый шар будет извлечен 2 раза?

Задача 6.29. Проводится серия из 6 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой случайное извлечение шара из урны. После извлечения шар возвращается в урну, благодаря чему состав шаров в урне не изменяется. Всего в урне 4 черных и 6 белых шаров. «Успехом» считается исход, в котором был извлечен белый шар.

• Сколькими способами в серии из 6 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирован результат «белый шар был извлечен четырежды»?

• Какова вероятность того, что в серии из 6 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирована следующая комбинация элементарных исходов: УУУНУН?

• Какова вероятность того, что в этой серии случайных экспериментов число «успехов» будет равно четырем?

Задача 6.30. В тесте содержится 4 вопроса. На каждый вопрос предложены 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Студент не знает материал по предмету и отвечает совершенно наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из четырех ответов (правильных и/или неправильных).

• Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно 2 верных ответа?

• Какова вероятность наступления следующего элементарного исхода: + + – – (где + означает верный ответ, а минус – неверный)?

• Какова вероятность того, что студент даст ровно 2 правильных ответа?

Задача 6.31. В тесте содержится 5 вопросов. На каждый вопрос предложены 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Для получения оценки «удовлетворительно» необходимо правильно ответить ровно на три вопроса. Студент не знает материал по предмету и отвечает совершенно наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из пяти ответов (правильных и/или неправильных).

• Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно 3 верных ответа?

• Какова вероятность наступления следующего элементарного исхода: + + – – + (где + означает верный ответ, а минус – неверный)?

• Какова вероятность того, что студент получит оценку «удовлетворительно»?

Задача 6.32. (вывод общей формулы) В тесте содержится n вопросов. На каждый вопрос предложены вариантов ответа (0 < p < 1; – натуральное число), из которых только один правильный. Для получения оценки «удовлетворительно» необходимо правильно ответить ровно на k вопросов. Студент не знает материал по предмету и отвечает наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из n ответов (правильных и/или неправильных).

• Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно k верных ответа?

• Какова вероятность того, что студент получит оценку «удовлетворительно»?

Задача 6.33. Игральную кость бросают 6 раз. Пусть X – с.в., равная числу выпавших шестерок.

• Какое распределение имеет с.в. X?

• Вычислите вероятности следующих событий:

• P (X = 1)

• P (X = 6)

• P (X ≤ 2)

Задача 6.34. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 5, p = 0.5. Какие из перечисленных ниже значений может принимать с.в. X?

• -2

• -0.3

• 0

• 0.5

• 1

• 2

• 2.5

• 5

• 6

Задача 6.35. В студенческой группе 15 девушек и 5 юношей. Из этой группы случайным образом выбирают 4 студентов. Пусть с.в. X – число девушек среди отобранных студентов.

• Укажите распределение с.в. X

• Вычислите вероятности следующих событий:

• P (X = 4)

• P (X < 2)

• P (X ≤ 3)

Задача 6.36. Компания, специализирующаяся на выпуске микроволновых печей, в год выпускает 40 тыс. штук продукции, из которых 32 тыс. (80%) соответствуют стандарту качества. Отдел контроля качества, не зная о таком соотношении нормальной и дефективной продукции, желает оценить долю нормальной продукции с помощью случайного выбора 10 микроволновых печей. Найдите вероятность того, что в случайной выборке получится ровно половина дефективных изделий.

Задача 6.37. В коробке 23 конфеты: 6 «Мишек на севере», 8 «Гусиных лапок» и 9 батончиков «Рот Фронт». Ребенок – большой любитель батончиков «Рот Фронт» – случайным образом достает из коробки 5 конфет.

• Какова вероятность того, что он достанет как минимум 3 батончика «Рот Фронт»?

• Постройте для случайной величины X (число батончиков «Рот Фронт») ряд распределения, полигон относительных частот и кумуляту (график функции распределения)

Задача 6.38. В проверочном тесте 5 вопросов, к каждому из которых предложены 4 варианта ответа (верен только один вариант ответа). За каждый верный ответ начисляется один балл. Рассмотрим случайную величину X – число баллов, набранное студентом-двоечником, отвечающим сугубо наугад.

• Постройте для этой случайной величины ряд распределения, полигон относительных частот и кумуляту (график функции распределения)

Задача 6.39. Студент на экзамене должен вытащить из кучки билетов, содержащих по одному вопросу, 4 билета. Всего вопросов (и, соответственно, билетов) 18. Из них студент знает 12 вопросов и не знает 6 вопросов.

• Какова вероятность того, что, вытаскивая случайным образом 4 билета из кучки, студент вытащит не менее 3 билетов, на которые он не знает ответа?

Задача 6.40. Студент на экзамене должен вытащить из кучки билетов, содержащих по одному вопросу, 4 билета. Всего вопросов (и, соответственно, билетов) 20. Из них студент хорошо знает 5 вопросов, плохо знает 9 вопросов и не знает 6 вопросов.

• Какова вероятность того, что, вытаскивая случайным образом 4 билета из кучки, студент вытащит не менее 4 билетов, на которые он не знает ответа.

Задача 6.41. В ходе социологического исследования респонденты опрашиваются на предмет того, проголосовали ли они за партию «Единая Россия» на последних выборах в Государственную Думу ФС РФ. Опрашивается n респондентов.

Случайно выбранный респондент проголосовал за партию «Единая Россия» с вероятностью p.

• Чему равно ожидаемое число респондентов, заявляющих о том, что они проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?

• Чему равна дисперсия числа респондентов, заявляющих о том, что они проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?

• Чему равно ожидаемое число респондентов, заявляющих о том, что они не проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?

• Чему равна дисперсия числа респондентов, заявляющих о том, что они не проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?

Задача 6.42. Рассмотрим случайную величину p_n = . Найдите E(p_n) и D(p_n), если известно, что S_n ~ B (n = 10, p = 0.7). В качестве ответа запишите вещественные (действительные) числа, которым равняются E(p_n) и D(p_n). Дайте содержательную интерпретацию случайной величине p_n.

Задача 6.43. Пять студентов-двоечников (Владилен, Мэлс, Варлен, Веор и Рэм) переписывают экзаменационный тест, состоящий из 10 вопросов. К каждому вопросу предлагается 4 варианта ответа, из которых только один является верным. Студенты работают под пристальным присмотром преподавателя и работают самостоятельно. Однако все они пришли на пересдачу, совершенно не зная предмета, и отвечают полностью наугад.

• Запишите формулу для расчета вероятности того, что Владилен верно ответит на a вопросов, Мэлс – на b, Варлен – на c, Веор – на d, а Рэм – на e.

• Как называется записанная Вами функция?

• Найдите вероятность того, что Владилен, Варлен и Веор верно ответят на 2 вопрос, Мэлс – на 3, а Рэм – на 5.

Задача 6.44. В городе N проводится исследование, в ходе которого организуются 3 фокус-группы с участием 20 совершеннолетних горожан. Участники фокус-групп отбираются случайным образом из числа совершеннолетних. Известно, что среди совершеннолетних горожан доля мужчин равна 0.4. Среди участников первой фокус-группы оказалось 2 мужчины, среди участников второй – 5, среди участников третьей – 4.

• Найдите значение функции правдоподобия указанных трех значений случайной величины Х – число мужчин на фокус-группе.

Задача 6.45. В городе NN проводится исследование, в ходе которого организуются 5 фокус-групп с участием 10 совершеннолетних горожан. Участники фокус-групп отбираются случайным образом из числа совершеннолетних. Известно, что среди совершеннолетних горожан доля мужчин равна 0.5.

Среди участников первой фокус-группы оказалось 2 мужчины, среди участников второй – 5, среди участников третьей – 4, среди участников четвертой – 6, среди участников пятой – 8.

• Найдите значение функции правдоподобия указанных пяти значений случайной величины Х – число мужчин на фокус-группе.

• Представьте, что Вам неизвестна истинная доля мужчин среди совершеннолетних горожан города NN. Но, набирая участников фокус-группы случайным образом, Вы склонны считать, что полученный набор из пяти значений случайной величины Х наиболее вероятен при реально существующем (но не известном Вам) соотношении мужчин и женщин в NN. Предложите метод, с помощью которого можно вычислить долю мужчин в городе, если считать полученный набор из пяти значений случайной величины Х наиболее вероятным.

Задача 7.17. Приведите примеры нормально распределенных случайных величин, встречающихся в жизни.

Задача 7.18. Опишите условия, в которых возникает нормальное распределение в жизни.

Задача 7.19. Известно, что X ~ N(5,10).

• Запишите функцию плотности вероятности с.в. Х

• Запишите функцию распределения с.в. Х

Задача 7.20. С.в. Х имеет нормальное распределение со средним значением 5 и дисперсией 4. Найдите плотность распределения с.в. Х в эпсилон-окрестности следующих точек:

• Х = 9

• Х = 7

Задача 7.21. С.в. Х имеет нормальное распределение со средним значением 10 и дисперсией 9. Найдите плотность распределения вероятностей с.в. Х в эпсилон-окрестности точек:

• Х = 7

• Х = 16

Задача 7.22. Пусть z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:

• P(– 2 < z < 1.5)

• P(– 2.6 < z < 0)

• P(1 < z < 8)

• P(– 2.5758 < z < 2.5758)

Задача 7.23. Пусть z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:

• P(– 2.5758 < z < 1)

• P(– 2.4 < z < 1.4)

• P(– 0.1 < z < 1.5)

• P(– 1 < z < 1.5)

• P(– 2.6 < z < – 1.7)

Задача 7.24. Пусть Z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:

• P(|Z| < 0.5)

• P(|Z| > 1.5)

• P(|Z| ≤ 1.96)

Задача 7.25. Пусть Z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:

• P(|Z| ≤ 2.5758)

• P(|Z| ≤ 3)

• P(|Z| ≤ 3.3)

Задача 7.26. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:

• P(|Z + 2| ≤ 2)

• P(|Z – 2| ≥ 1.5)

• P(|2Z – 1| ≤ 3)

Задача 7.27. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:

• P(|3Z| ≤ 3)

• P(|2Z| ≤ 4)

• P(|2Z| ≥ 3)

• P(|1.5Z| ≥ 3)

Задача 7.28. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:

• P(|Z + 1| ≤ 2)

• P(|Z – 0.5| ≤ 2)

• P(|Z – 0.2| ≤ 1.7)

• P(|Z – 0.5| ≥ 2)

Задача 7.29. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:

• P(|2Z + 1| ≤ 3)

• P(|2Z – 2| ≤ 2)

• P(|2Z + 1| ≥ 3)

• P(|1.5Z + 1| ≥ 2)

Задача 7.30. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Z и Y независимы. Найдите:

• P(Z + Y ≤ 4)

• P(Z – Y ≤ 3)

• P(Z – Y ≥ 4)

Задача 7.31.

• Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найдите P (X + Y ≤ 2), если X и Y независимы.

• Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (2, 9). Найдите P(Z + Y ≤ 3), если Z и Y независимы.

• Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найдите P (X+Y ≥ 5), если X и Y независимы.

• Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найдите P (X – Y ≤ 5), если X и Y независимы.

• Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найдите P (2X – Y ≤ 5), если X и Y независимы.

Задача 7.32.

• Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найти P (|X + Y| ≤ 2), если X и Y независимы.

• Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X +Y| ≥ 5), если X и Y независимы.

• Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X – Y| ≤ 5), если X и Y независимы.

• Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|2X – Y| ≤ 5), если X и Y независимы.

Задача 7.33. У Вас есть 100 руб., которые Вы решили вложить в активы. Вы можете вложить деньги в 2 вида активов: стоимость одного – это Х, стоимость другого – это Y. Распределение цен активов таково: X ~ N (10, 1), Y ~ N (20, 9). Стоимости активов независимы.

За одну единицу покупаемого актива Вы платите среднюю стоимость этого актива.

Вы хотите вложить свои 100 руб. так, чтобы минимизировать риск критических потерь, коими принято считать 10%-ные потери (т.е. Вы хотите вложить деньги так, чтобы минимизировать риск того, что купленные Вами активы будут стоить не больше 90 руб.). Проведите соответствующие расчеты и установите, какой из способов формирования портфеля активов более Вам выгоден:

1. купить 10 единиц первого актива

2. купить 5 единиц второго актива

3. купить 4 единицы первого и 3 единицы второго актива

1. Имеются данные о явке на избирательные участки в 2003 и 2007 гг. в некотором регионе России (в % от зарегистрированных избирателей). Данные представлены по всем участковым избирательным комиссиям (УИКам) этого региона. Всего на территории региона 150 УИКов.

   • Сформулируйте исследовательский вопрос к имеющимся данным

   • Предложите метод решения поставленной Вами задачи с помощью проверки статистической гипотезы

   • Решите поставленную задачу, если в 80 УИКах явка повысилась, 65 – понизилась, а в 5 не изменилась. Рассчитайте минимальный уровень значимости статистики критерия и сделайте вывод о гипотезе.

2. В Высшей школе экономики проводится исследование того, как результаты зачета/экзамена по дисциплинам сказываются на отношении студентов к преподавателям этих дисциплин. Выбирается несколько «жестоких» дисциплин на разных факультетах. Случайная выборка объемом 1600 студентов опрашивается на предмет отношения к одному случайно выбранному преподавателю, ведущему у студента занятия. Опрос проводится до проведения зачета/экзамена. Студенты ставят преподавателю одну оценку по 5-тибалльной шкале. Те же 1600 студентов опрашиваются после зачета/экзамена и снова оценивают преподавателя.

• Каким образом можно понять, меняется ли мнение студента о преподавателе после экзамена/зачета?

• Пусть у 100 мнение не изменилось, у 900 ухудшилось, у 600 улучшилось. Какой вывод Вы сделаете?