14. Свойства вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий, вероятность суммы двух совместных и независимых событий. Условная вероятность.

Свойства:

Пусть задано пространство элементарных событий  Е  , а вероятности  Р  определены на событиях из  Е . Тогда:

 Суммой событий   и   называется событие  , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий   или  , т. е. в наступлении события  , или события  , или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Вероятность суммы двух несовместных событий   и   равна сумме вероятностей этих событий:  .

 Произведением событий   и   называется событие  , состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие  , и событие  , т. е. оба события произошли.

Два события   и   называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события   и  называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий   и   равна произведению этих вероятностей:  .

Условная вероятность.

Пусть   и   — зависимые события. Условной вероятностью   события   называется вероятность события  , найденная в предположении, что событие   уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий   и   равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:  .

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий   и   равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: . 

15. Определение суммы и произведения двух событий. Вероятность суммы двух совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Вероятность произведения двух совместных и зависимых события.

Суммой событий   и   называется событие  , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий   или  , т. е. в наступлении события  , или события  , или обоих этих событий вместе, если они совместны.

 Произведением событий   и   называется событие  , состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие  , и событие  , т. е. оба события произошли.

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…,Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.

  

Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

16. Полная группа событий. Противоположные события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать .

Формула полной вероятности:

Формула Байеса:

17. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов. Формула Пуассона.

Бернулли установил, что вероятность ровно   успехов в серии из   повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение  , при котором число   является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию: np - q   m  np+ p, 

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из   событий с вероятностью   (  . Вероятность появления  раз первого события и   - второго и  -го находится по формуле:

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

Наивероятнейшее число успехов:

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов   (появлений события) имеет вид:

Так как  , то эти границы отличаются на 1. Поэтому  , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда   целое число ( ) , то есть когда  (а отсюда и  ) нецелое число, либо два значения, когда   целое число.