Эквивалентные системы аксиом

В доказательстве метатеоремы дедукции мы рассмотрели два варианта: когда среди наших аксиом есть аксиомы Imp1 и Imp2 и когда среди наших аксиом есть аксиомы Imp1 и Imp2'. То есть, эта метатеорема верна и при том, и при другом выборе аксиом. Помимо них в доказательстве используются только те аксиомы, которые пришли вместе с исходным доказательством G1, G2,..., Gβ-1, Gβ R. Поэтому метатеорема дедукции будет верна для любого варианта КИВ, в котором есть либо аксиомы Imp1 и Imp2, либо аксиомы Imp1 и Imp2'. Остальные аксиомы не имеют значения для теоремы дедукции.

Более того, в последующих главах будут использоваться не аксиомы Imp1, Imp2, Imp2', а теорема дедукции, которая из них получается. Поэтому, в принципе, можно саму теорему дедукции считать аксиомой (или правилом вывода), а аксиомы Imp1/Imp2 исключить.

До сих пор мы не определились с выбором, какую из аксиом использовать: Imp2 или Imp2'. Во всех рассуждениях мы рассматривали оба варианта. Теперь мы докажем, что это не имеет значения. А точнее так: если принять за аксиомы Imp1 и Imp2, то можно будет доказать Imp2' как теорему. А если, наоборот, принять за аксиомы Imp1 и Imp2', то можно будет доказать как теорему Imp2. Получается, что эти два варианта КИВ в конечном счете приведут к одним и тем же доказанным формулам. Вот вам один из примеров, когда есть два взаимозаменяемых варианта КИВ.

Еще раз напомню аксиомы:

Imp2:

ab ((a(bc))(ac))

Imp2':

a(bc) ((ab)(ac))

Возьмем в качестве аксиомы Imp2. Поскольку аксиома - формула доказанная, то можно написать:

|—ab ((a(bc))(ac))

Теперь передвинем значок слева направо, используя MP:

|—ab ((a(bc))(ac))

ab |— (a(bc))(ac)

ab, a(bc) |— ac

Переставим местами гипотезы

a(bc), ab |— ac

Теперь передвинем значок обратно, используя МТД:

a(bc) |— (ab)(ac)

|— a(bc) (ab)(ac)

- получилась Imp2' как теорема.

Аналогично можно получить Imp2 из Imp2'. Достаточно выписать все те же самые формулы, только в обратном порядке.

Далее для ясности будем считать Imp2 аксиомой, а Imp2' - теоремой.

Транзитивность

Транзитивностью связки называется теорема КИВ:

|— (A => B) => ((B => C) => (A => C))

Похоже на Imp2 или Imp2', только проще. Используем МТД, чтобы доказать эту теорему. На этот раз у нас пока нет подходящей формулы, для которой можно было бы "подвигать значок" , так что нам эту формулу придется сперва получить. Тем не менее, мы можем попробовать подвигать значок просто для того, чтобы понять, какие гипотезы нам могут понадобится. Этот метод будем называть "предварительным передвиганием". Он не входит в доказательство, это - просто способ поиска решения.

|— (A => B) => ((B => C) => (A => C))

A => B |— (B => C) => (A => C)

A => B, B => C |— A => C

A => B, B => C, A |— C (1)

Вот предположительно (подчеркиваю: предположительно!) нам понадобятся эти гипотезы: A B, B C, A. Но только если мы докажем, что и в самом деле из этих гипотез можно вывести формулу C. Попробуем (с этого места пойдет уже доказательство):

1) A, A => B |— B // MP

2) B, B => C |— C // MP

Довольно просто - всего два шага. Тем самым мы доказали формулу (1). Осталось только передвинуть значок обратно в крайнее левое положение:

A => B, B => C, A |— C (1)

A => B, B => C |— A => C

A => B |— (B => C) => (A => C)

|— (A => B) => ((B => C) => (A => C))

Теорема о транзитивности доказана.