9. Производная обратной функции

Дифференцируемая монотонная функция f:[a, b] → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f ^-1, производная которой вычисляется по формуле

Производная параметрически заданной функции

Если функция f задана параметрически

x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,

где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

Производная неявно заданной функции

Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале [a, b], то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

10. Дифференциа́л— линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Определения для функций

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f, определённой на M (M — гладкое многообразие), представляет собой 1-форму, обычно обозначается df и определяется соотношением

где обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.

Геометрический смысл дифференциала мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная -- это угловой коэффициент касательной к графику функции при , то дифференциал -- это приращение ординаты точки касательной

к графику функции , когда абсцисса точки касательной получает приращение :

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулу

задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства

если считать (при малых ) значение бесконечно малой величины много меньшим, чем . Перенося в правую часть, получаем:

где . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что

Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции в точках , если известны значения и её частных производных в точке .

11. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))', n ϵ N, f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)), d⁰f(x) = f(x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

12. Условия монотонности функции

(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда

f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда

(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда если то f строго возрастает на (a,b);

если то f строго убывает на (a,b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: