1.5 Матричные представления графов

1.5.1 Матрица смежности

Матрицей смежности для ориентированного графа G = (X, U) с n вершинами называется квадратная матрица A порядка n, элементы которой определяются следующим образом:

1, если в графе существует дуга (X_i, X_j);

a_jj =

0, в противном случае.

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Например сумма всех элементов строки дает полустепень исхода вершины , а сумма элементов столбца - полустепень захода вершины . Множество столбцов , имеющих 1 в строке , есть множество , а множество строк, имеющих 1 в столбце , совпадает с множеством

1.5.2 Матрица достижимости

Матрицей достижимости графа с n вершинами называется квадратная матрица R порядка n, элементы которой определяются следующим образом:

1, если вершина X_j достижима из вершины X_i;

r_ij =

0, в противном случае.

r_ii = 1 i

Множество графа G, достижимых из заданной вершины , состоит из таких элементов , для которых -й элемент в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы матрицы R равны 1, т.к. люба вершима достижима из себя самой с помощью пути длины 0.

Поскольку является множеством таких вершин , которые достижимы из с использованием путей длины 1 (т.е. - такое множество вершин, для которых в графе существуют дуги ) и поскольку является множеством вершин, достижимых из с помощью путей длины 1, то множество = состоит из вершин достижимых из с использованием путей длины 2. Аналогично является множеством вершин, которые достижимы из с помощью путей длиной р.

Матрицу достижимости R можно найти с помощью матрицы смежности A следующим образом R = T (E + A+ A² +…+ A^n-1) где n – число вершин, E – единичная матрица размера n, а оператор T определяется следующим образом:

1,если ;

T(a_ij) =

0, в противном случае.

1.5.3 Матрица контрдостижимости

Матрицей контрдостижимости (обратных достижимостей) графа с n вершинами называется квадратная матрица Q порядка n, элементы которой определяются следующим образом:

1, если вершина X_i достижима из вершины X_j;

q_ij =

0, в противном случае.

q_ii = 1 i

Контрадостижимым множеством графа G является множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достигнуть вершину . Следует заметить что .

1.5.4 Матрица сильной связности

Матрицей сильной связности орграфа с n вершинами называется квадратная матрица S порядка n, элементы которой определяются следующим образом:

1, если вершины X_j и X_i взаимно достижимы ;

s _ij =

0, в противном случае.

1.6 Нахождение сильных компонент

Поскольку в сильно связном графе произвольная вершина достижима из любой другой вершины , то в ориентированном графе существует одна и только одна сильная компонента, содержащая данную вершину .

Если является одновременно начальной и конечной вершиной пути, то множество, существенных относительно этих двух идентичных концов (т.е. множество вершин некоторого цикла, содержащего ), совпадает с пересечение . Поскольку все эти существенные вершины достижимы из и, кроме того, из каждой такой достижима вершина , то все они взаимно достижимы. Более того если нет другой вершины, существенной относительно концов и , то множество , однозначно определяет сильную компоненту графа G, содержащую вершину .

Если эти вершины удалить из графа , то в оставшемся порожденном подграфе можно таким же способом выделить новую сильную компоненту, содержащую . Эту процедуру можно повторять до тех пор, пока все вершины графа G не будут сгруппированы в соответствующие сильные компоненты. После завершения этой процедуры граф G будет разбит на свои сильные компоненты.

Граф определяется так : каждая его вершина представляет множество вершин некоторой сильной компоненты графа G , дуга существует в тогда и только тогда, когда в G существует дуга , такая что принадлежит компоненте, соответствующей вершине , а - компоненте, соответствующей вершине . Граф называют конденсацией графа G.

Совершенно очевидно, что конденсация не содержит циклов, поскольку наличие цикла означает, что любые вершины этого цикла взаимно достижимы, а поэтому совокупность всех вершин цикла принадлежит некоторой сильной компоненте в и, следовательно, содержится в сильной компоненте графа G ,что противоречит определению конденсации, в силу которого вершины из соответствуют сильной компоненте в G.

Алгоритм определения сильных компонент связности графа:

1). Посторенние матрицы достижимости R.

2).Построение матрицы контрдостижимоти Q.

Матрица достижимости Q находится транспонированием матрицы достижимости R: Q = R^t .

2). Определение матрицы сильной связанности S = Q*R.

Матрицы R, Q, S связаны между собой следующим соотношением:

R = Q^t, S = Q*R, где * - операция поэлементного умножения матриц.

Если вершины принадлежат одной сильной компоненте орграфа, то s_ij = 1.

При этом строки (столбцы), соответствующие этим вершинам в матрице S, одинаковы. Для неорграфа матрицы достижимости и контрдостижимости совпадают и являются аналогами матрицы сильной связности.

При машинной реализации алгоритмов на графах матрицы расстояний, достижимости, контрдостижмости и сильной связности можно определять через матрицу смежности.

3). Выделение сильных компонент графа. Вершины, соответствующие одинаковым строкам и одинаковым столбцам матрицы S принадлежат одной сильно компоненте графа.