1.Основные определения

1.1 Граф. Ориентированный граф

Графом G называется совокупность 2-х конечных множеств:множества точек или вершин X= {x₁…x_n} и множества линий или ребер А ={a₁…a_m},, соединяющих между собой все или часть вершин. Т.е. граф G полностью задается парой (X, A).

Если ребра из множества А ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным. Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным.

Дуга обозначается упорядоченной парой, состоящей из начальной и конечной вершин, ее направление предполагается заданным от первой вершины ко второй.

Граф называется помеченным, если его вершинам приписаны некоторые метки, например, номера.

Множество соответствия Г, есть множество, показывающее как между собой связаны вершины. Соответствие называется отображением Х в Х, а граф в этом случае обозначается парой G = (Х, Г). В случае неориентированного графа или графа, содержащего и дуги, и неориентированные ребра, предполагается, что соответствие Г задает такой эквивалентный ориентированный граф, который получается из исходного графа путем замены каждого неориентированного ребра двумя противоположно направленными дугами, соединяющими те же самые вершины. принято называть обратным соответствием. Очевидно, что для неориентированного графа . Отображение записывается как . Аналогично понимается обозначение .

1.2 Пути и маршруты

Путем (или ориентированным маршрутом) ориентированного графа называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей.

Дуги имеющие общие концевые вершины, называются смежными. Вершины и называются смежными если какая-нибудь из двух дуг и

или обе одновременно присутствуют в графе.

Ориентированной цепью (или, короче, орцепью) называется такой путь, в котором каждая дуга используется не больше одного раза.

Простой орцепью называется такой путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза. Маршрут есть неориентированный «двойник» пути, и это понятие рассматривается в тех случаях, когда можно пренебречь направленностью дуг в графе. Таким образом, маршрут есть последовательность ребер , … , в котором каждое ребро ,за исключением, возможно первого и последнего, связано с ребрами и своими двумя концевыми вершинами. Черта над символом дуги означает, что ее ориентацией пренебрегают.

1.3 Степени вершины

Число дуг, которые имеют вершину своей начальной вершиной, называется полустепенью исхода вершины . Число дуг, которые имеют вершину своей конечной вершиной, называется полустепенью захода вершины . Сумма полустепеней исхода всех вершин графа, а также сумма полустепеней захода всех вершин графа равны общему числу дуг графа G.

1.4 Сильно связные графы и компоненты графа

Ориентированный граф называется сильно связным или связным, если для любых двух различных вершин и существует, по крайней мере, один путь, соединяющий с . Это определение означает также, что любые две вершины такого графа взаимно достижимы.

Ориентированный граф называется односторонне связным или односторонним, если для любых двух различных вершин и существует, по крайней мере, один путь из в или из в (или оба одновременно).

Ориентированный граф называется слабо связным или слабым, если для любых двух различных вершин существует, по крайней мере один маршрут, соединяющий их.

Пусть дано некоторое свойство Р, которым могут обладать графы. Максимальным подграфом графа G относительно свойства Р, называется порожденный подграф графа G, обладающий этим свойством и такой, что не существует другого порожденного подграфа , у которого и который также обладает свойством Р. Так, например если в качестве свойства Р взята сильная связность, то максимальным сильным подграфом графа G является сильный подграф, который не содержится в любом другом сильном подграфе. Такой подграф называется сильной компонентой графа G. Аналогично, односторонняя компонента представляет собой односторонний максимальный подграф, а слабая компонента – максимальный слабый подграф.

Односторонние сильные компоненты графа могут иметь общие вершины. Сильной компонентой орграфа называется его максимальный сильно связанный подграф. Сильная компонента должна содержаться, по крайней мере, в одной односторонней компоненте, а односторонняя компонента содержится в некоторой слабой компоненте данного графа G.