Основи математичного моделювання
1.Сутність математичного моделювання біологічних об’єктів.
2.Класифікація математичного моделювання.
3.Етапи математичного моделювання.
4.Системний аналіз об’єкту моделювання.
1.Сутність математичного моделювання – це створення абстрактної, не існуючої моделі, що являє собою набір знаків, які імітують дійсність. Це найвища сутність абстракції.
При однаковій кількості складових у 2 моделях: природній і штучній, штучна більш проста. Тому що в ній ми знаємо її функції. А в природній не знаємо, і природній системі → зв’язків, бо є два зворотні зв’язки – протидія і пристосування; тоді як в штучній, неживій системі 1 протидія.
2. Рівень абстракції найвищий
Мета математичного моделювання – або прогнозування, або отримання додаткової інформації.
По видам математичного моделювання може бути фізична, біологічна, змішана; тобто може моделювати будь-яку систему.
З т.з функції може бути повною ( повність імітує реальну модель) або частково.
Моделі бувають:
рівновісна – дає результат після завдання якоїсь зміни.
нерівновісна – показує, яка схема приходить до цього результату(процес переходу) динамічна модель.
Найбільше значення – чи враховується в моделі ймовірності явищ і процесів. Врахування ймовірності ускладнює аналітичну залежність на багато порядків. Для врахування ймовірності необхідно вводити багато початкових даних (експериментальних).
3. Етапи математичного моделювання:
1. Обґрунтування меж екосистеми. Можна моделювати не схему, а процес, а оскільки встановити межі, складові системи важко.
2. Схематичне зображення сукупності складових екосистем.
Показуємо складові без зв'язків умовно. Зазначаємо наявність або відсутність чогось. Встановлюємо умови,(наприклад враховуємо лише постійні впливи.
3. Виявлення: зображення зовнішніх факторів треба чітко встановити усі впливи.
4. Обґрунтування принципів і межі декомпозиції.
Принципи:
Ф
Т
Т
Т
Одну і туж систему можна ділити по-різному залежно від завдання. Можливо, треба зробити кілька схем декомпозиції.
В екології систему закінчуємо цілями(наприклад дерево, а не окреме листя). Можливо, не треба заходити до окремих елементів, не треба декомпозувати більше, ніж на 2-3 рівня. Обмежитися максимумом 10 -рівняннями. Нормально 5 - 6 рівнянь.
5. Декомпозиція систем:
Якщо декомпозована система виявляється надскладною, можливе ігнорування не важливої частини, але на даному етапі треба проводити повну декомпозицію.
6. Розробка схем дії внутрішніх зв'язків в системі. Показати лише зв'язки найдрібнішого рівня. Зв'язки – або всіх типів (енергетичні, речовинні….) або, якщо обговорено конкретні.
7. Характеризуємо якістю, властивостями, показниками складові системи.
8. Характеризуємо фактори впливу, роботи ведуться у вигляді символів, формул, графіків, а не конкретних цифр.
9. Характеристики. Описуємо залежність якості, властивостей, показників від факторів.
10. Аналіз фактичного матеріалу. Аналіз літературних джерел, де є конкретний потрібний матеріал: показники, параметри, властивості для того, щоб скласти програми.
11. Розробка характеристик. Це може бути таблиця, графік, аналітична характеристика.
Апроксимація - отримання аналітичних характеристик на основі фактичного матеріалу.
рис
12. Розробка алгоритму створення моделі.
рис
13. Систематичний аналіз об’єкту моделювання.
рис
Схема моделі(приклад)
Тема 2: Математичні біологічні моделі.
1. Моделювання демографічної ситуації.
2. Моделювання поведінки популяції.
3. Моделювання системи хижак-жертва.
4. Моделювання міжвидової конкуренції.
Можна моделювати ситуацію в світі, на материку, в країні. Це різні рівні. Моделювання може вестися різними методами. Найпростіше моделювання за інтегральним показником. Зводиться до отримання кривої: кількість людства від часу.
рис
В 1 цим займався Мальтус
а – постійна експоненти, в реальній кривій, а – змінна величина, її треба брати за об'єкт аналізу.
а – можна обчислювати логарифмуванням: можна з допомогою похідної обчислити швидкість приросту.
Ч = Ч0+ΔЧн-ΔЧп-ΔМ – аналізуємо народжуваність і смертність
н – кількість народжених
п - кількість померлих
м – міграція
Ч = К/1+еm-аmах
am - а максимальне (на тому відрізку, де максимальна експонента)
m – постійна
к – максимальна кількість населення
ΔЧн/Δτ – народжуваність
ΔЧс/ Δτ - смертність
ΔЧн/ΔτЧ – питома народжуваність
в=αЧн /ατЧ – миттєва питома народжуваність
g = αЧc / ατЧ – миттєва питома смертність
в= g – точка рівноваги
в – g=r – основне рівняння динаміки екосистеми
r = ΔЧ/Δτ *1/4 r=а
2. Треба провести прогнозне та аналітичне моделювання. Модель повинна дати змогу аналізувати якісь фактори.
Математична модель біологічної системи повинна дати змогу аналізувати вплив різних факторів(стратегій).
В основу розвитку моделі можна покласти певну теоритичну закономірність. В біології сьогодні в основу моделювання покладенна логістична(s-подібна) закономірність.
Рис
В логістичній кривій є ділянка експоненційного закону.
S- подібна крива описується такою формулою:
У формулі багато невідомих, тому для вирішення рівняння необхідно задавати якісь певні умови(початкові данні). Так ми здійснюємо матиматичне спрощення біологічної моделі.
1 стратегія К-стратегія-задаємо певне значення К, яке залежить від кормової бази, конкуренції, інших особливостей зовнішнього впливу. Інші умови-сталі. Аналіз в цьому напрямку називається аналіз по К-стратегії.
Від зміни константи К змінюється від логістичної кривої.
2. а-стратегія або г-стратегія. Оберемо зовнішні умови(К) однакові, будемо моделювати фізіологічні характеристики самої популяції (народжуваність, період вагітності, плодовитість….)
Коли S-подібна крива починається з нуля, це означає, що на певній території ще не було цього виду, а потім цю територію засилили; а може бути не з нуля, коли є якась початкова кількість особин.
Можемо робити комплексний варіант, враховувати і внутрішні, і зовнішні умови.
Ідеальної логістичної кривої в природі не існує, бо змінюється умови, зовнішній вплив.
Рис
- фактична S-подібна крива
рис
Це теоретичне моделювання 2 частини(фази) логістичної кривої.
Щоб створити ймовірну модель, необхідно спочатку ввести багато теоретичних даних. Модель буде мати вигляд певної кривої, ймовірність якої буде, наприклад 90%.
рис
Другу фазу почали моделювати лише 50р. тому, тоді як першу – 100 років.
І-таку модель ІІ-фази розробив Нікольсон і назвав стратегія регуляції (регуляціонізм).
1970р.-концепція розподілу ризику(два голландця Бур і Редденвіус розробили цю модель). В таких моделях можна визначити умови, за яких популяція повністю зникне.
3.Моделювання системи хижак-жертва.
Математичним(як і біологічним) моделюванням в цій області займалися Лотка і Вольтер.
зміна
жертви
зміна хижака
=
,
,
,
)
=
,
,
,
)
- народжуваність жертви
- природна смертність жертви, не ті, які поїдають хижаки
- міграція жертв
З точки зору математики Чх і та інші фактори не залежать один від одного, але біологічно вони залежать, бо чим > з’їдають хижаки, тим інтенсивніша . Але в математичній моделі поки що це спрощують.
Необхідно також враховувати зустрічність хижаків з жертвами. В залежності від коефіцієнта зустрічі, бувають різні криві
рис
Лотка і Вольтер провели математичне спрощення і отримали певну модель.
Рис
Спочатку – умовна стабільність, потім, зі зміною зовнішніх умов, кількість жертв збільшується. Через певний час збільшується кількість хижаків.
-
час запізнення, залежить від періоду
вагітності хижаків.
Кількість хижаків буде збільшуватись, поки кількість жертв прийде до початкової. Отримуємо монотонну залежність.
Але без хижака жертва жити не може, бо не буде стимулюватися боротьба за виживання у жертви, вона поступово вимре.
Якщо є два конкурентних виду, вони не їдять один одного, але ми задаємо різні фактори зовнішнього середовища та фактори фізіології популяції, через ці фактори проявляється залежність між двома популяціями. Один вид їсть більше трави, інший – менше, йому не залишається.