Примеры

Пример 1. Найдем интеграл

∫ x · ex dx.

Решение.

Представим данный интеграл в виде

∫ x · (ex ) ' dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V '(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U '(x) · V(x) dx

с U(x) = x и V(x) = e^x , получаем:

∫ x · ex dx = x · ex − ∫ ex dx = x · ex − ex + C.

Можно поступить иначе.

Подведем в исжодном интеграле функцию e^x под знак дифференциала. Получим

∫ x · ex dx = ∫ x dex.

Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования по частям

∫ U(x) dV(x) = U(x) · V(x) − ∫ V(x) dU(x)

с U(x) = x и V(x) = e^x , получаем:

∫ x dex = x · ex − ∫ ex dx = x · ex − ex − C.

Пример 2. Найдем интеграл

∫ x2 · ex dx.

Решение.

Представим данный интеграл в виде

∫ x2 · (ex )' dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx

с U(x) = x² и V(x) = e^x , получаем:

∫ x2 · ex dx = x2 · ex − 2 ∫ x · ex dx.

(1)

2. Последний интеграл в (1) интегрируем по частям, полагая U(x) = x , V(x) = e^x . Получаем:

∫ x · ex dx = x · ex − ∫ ex dx = x · ex − ex − C.

3. Используя этот результат в (1), получаем

∫ x2 · ex dx = x2 · ex − 2x · ex + 2ex + C1,

где C₁ = 2C — произвольная постоянная.

Заметим, что в процессе нахождения неопределенного интеграла функция x² подверглась двухкратному дифференцированию, а функция e^x — двухкратному интегрированию.

Пример 3. Найдем интеграл

∫ ln(x) dx.

Решение.

Применяя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) dV(x) = U(x) · V(x) − ∫ V(x) dU(x)

с U(x) = ln(x) и V(x) = x , получаем:

∫ ln(x) dx = ln(x) · x − ∫ x dln(x).

Последний интеграл легко найти:

∫ x dln(x) = ∫ x 1 x dx = x + C.

Поэтому

∫ ln(x) dx = x · ln(x) − x − С.

Пример 4. Найдем интеграл

∫ ex · cosx dx.

Решение.

1. Представим данный интеграл в виде

∫ ex · (sinx)' dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx

с U(x) = e^x и V(x) = sinx , получаем:

∫ ex · (sinx)' dx = ex · sinx − ∫ (ex)' · sinx dx.

(2)

2. Последний интеграл представим в виде

∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx

и применим формулу интегрирования по частям

∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx

с U(x) = e^x и V(x) = cosx . Получаем

∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx = − ex · cosx + ∫ (ex)' · cosx dx = − ex · cosx + ∫ ex · cosx dx

(3)

3. Сопоставляя (2) и (3), получаем:

∫ ex · cosx dx = ex · sinx + ex · cosx − ∫ ex · cosx dx .

Прибавляя к обеим частям этого равенства ∫ e^x · cosx dx и учитывая, что ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx равно не нулю, а произвольной постоянной C , имеем:

2 ∫ ex · cosx dx = ex · sinxex · cosx + C.

Поэтому

∫ ex · cosx dx = ex · sin x + ex · cos x 2 + C1 ,

где C₁ = C/2 — произвольная постоянная.

Заметим, что при выполнении тождественных преобразований часто говорят: “перенесем слагаемое в левую часть с изменением знака”. Но такого математического действия нет. Есть прибавление к обеим частям равенства одного и того же слагаемого.

Если к обеим частям равенства A + B = C + D прибавить −D, то получим A + B − D = C + D − D , и если D − D = 0 , то деиствительно получается равенство A + B − D = C , в котром, по сравнению с исходным равенством A + B = C + D , слагаемое D оказалось перемещенным из правой части в левую с изменением знака. Но если D неопределенный интеграл, то D − D равно не нулю, а произвольной постоянной функции !

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому-что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.

Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:

То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим дифференциал :

Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.

Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства :

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:

Единственный момент, в произведении я сразу переставил местами и , так как множитель принято записывать перед логарифмом.

Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.

Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».

Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.

В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен. Решаем.

Я еще один раз подробно распишу порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном решении, нужно вернуться обратно к первым двум примерам урока.

Как уже говорилось, за необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Записываем в столбик:

Сначала находим дифференциал :

Здесь использовано правило дифференцирования сложной функции . Не случайно, на самом первом уроке темы Неопределенный интеграл. Примеры решений я акцентировал внимание на том, что для того, чтобы освоить интегралы, необходимо «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз.

Теперь находим функцию , для этого интегрируем правую часть нижнего равенства :

Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу

Теперь всё готово для применения формулы . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью :

Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.

Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.

(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всей скобке , и эти скобки нужно корректно раскрыть.

(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.

(3) Берем последний интеграл.

(4) «Причесываем» ответ.

Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко.

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

Этот пример решается методом замены переменной (или подведением под знак дифференциала)! А почему бы и нет – можете попробовать взять его по частям, получится забавная вещь.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл.

А вот этот интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь).

Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока.

Вроде бы в примерах 3,4 подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. Кроме того, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без опыта решения интегралов и производных делать там нечего.

По логарифмам, пожалуй, более чем достаточно. На закуску могу еще вспомнить, что студенты-технари логарифмами называют женскую грудь =). Кстати, полезно знать графики основных элементарных функций: синуса, косинуса, арктангенса, экспоненты, многочлена четвертой степени и т.д. Нет, презерватив на глобус я натягивать не буду, но вы все прочитаете мой пост Графики и свойства элементарных функций =).