2.5. Доверительный интервал

При большом количестве вариант N выборочные средние M распределены приближенно нормально вокруг генеральной средней  со стандартным отклонением s. Это значит, что относительное отклонение выборочного среднего M от генерального среднего , т.е. величина =(M-)/s распределена так же, как относительные отклонения вариант x от  , т.е. величины u=(x_i-)/ в нормально распределенной генеральной совокупности. Поэтому вероятность того, что  будет находиться в пределах s, можно приближенно описывать функцией, выражающей площади под нормальной кривой в заданных пределах. Значения критерия  приводятся в специальной таблице для заданного уровня значимости (Приложение 1). Получаемый интервал (x-s; x+s) называют доверительным интервалом для генеральной средней. Его смысл заключается в следующем: если взято 100 выборок объемом N каждая и, следовательно, получено 100 интервалов (M-s; M+s). Все они будут несколько различаться между собой положениями своих центров M, но 68 из этих интервалов покроют .

Пример 2.12. Использование функции ДОВЕРИТ() MS Excel для расчета доверительного интервала для средней генеральной совокупности. Доверительный интервал – это интервал с обеих сторон от средней в выборке.

Синтаксис: ДОВЕРИТ(α; станд откл; размер),

где

α – это уровень значимости, используемый для оценки уровня надежности. Уровень надежности равняется 100(1 – α) процентам, или, другими словами, α равное 0,05 означает 95-процентный уровень надежности.

Станд откл - это стандартное отклонение выборочной совокупности для интервала данных, предполагается известным.

Размер - это объем выборки.

Замечания:

• Если размер не целое, то оно усекается.

• Если предположить, что альфа равняется 0,05, то нужно определить ту часть стандартной нормальной кривой, которая равняется (1 – α), или 95 процентам. Это значение из таблицы (см. приложение 1) равно 1,96. Доверительный интервал, следовательно, определяется следующим образом:

(2.26)

Предположим, что при перечете 200 деревьев на пробной площади средний арифметический диаметр равен 14,4 см со стандартным отклонением 15,0 см. В таком случае, мы можем быть на 95 процентов уверены в том, что среднее для генеральной совокупности находится в интервале:

или:

ДОВЕРИТ(0,05;15;200) равняется 1,06066. Другими словами, средний диаметр генеральной совокупности равен 14,4 ± 1,06066 или от 13,3 до 15,5 см.

2.6. Контрольные вопросы и задания

1. Назовите основные характеристики эмпирических совокупностей и особенности их формирования.

2. Приведите примеры графического представления сгруппированных эмпирических совокупностей.

3. Приведите основные элементы изложения статистического заключения.

4. Приведите статистические показатели, характеризующие центральные тенденции и укажите область их применения.

5. Дайте определения и поясните суть следующих терминов: размах варьирования; дисперсия; среднеквадратическое (стандартное) отклонение; коэффициенты вариации и дифференциации.

6. Дайте статистическую характеристику и графическое изображение кривой нормального распределения.

7. Охарактеризуйте статистически меру скошенности и крутизны рядов распределения частот.