1.3. Основы теории вероятностей

1.3.1. Понятие случайной величины

Специалист лесного хозяйства имеет дело со случайными величинами. Любой биометрический признак деревьев в пределах древостоя (диаметр, высота, объем и т.д.) - случайные величины, меняющие свое значение от объекта к объекту в пределах однородной совокупности. Причем заранее предсказать каждое из этих значений случайной величины невозможно. Случайные величины, возможные значения которых можно заранее перечислить, называются дискретными. Если же возможные значения случайных величин непрерывно заполняют некоторый промежуток, то они называются непрерывными.

Все значения, которые может принимать случайная величина, составляют генеральную совокупность. Она может состоять из конечного числа случайной величины или быть бесконечной. Во всех случаях в одну генеральную совокупность объединяются случайные величины, сходные по своей внутренней природе. Они должны представлять собой биологическое единство, которое сформировалось под воздействием одинаковых внешних и внутренних факторов среды. Нельзя, например, объединять в одну генеральную совокупность древостои двух разных поколений леса, хотя и произрастающих совместно.

1.3.2. Классическое и статистическое определения вероятности события

Вероятностью появления какого-либо события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события (M), к общему числу всех возможных случаев (N):

P=M/N. (1.1)

Пример 1.1. На пробной площади 300 деревьев. Из них 100 поражены грибом. Вероятность того, что наудачу взятое дерево окажется пораженным, равна P=100/300=1/3, а здоровым (300-100)/300=2/3.

Событие достоверно, если его вероятность равна 1, т.е. все шансы благоприятны. Событие вероятно, если вероятность его более 0,5. Событие маловероятно, если его вероятность меньше 0,5. Сумма вероятностей всех событий, взаимоисключающих друг друга, в пределах совокупности равна 1.

Понятие вероятности относят только к генеральной совокупности. Так как в практике можно установить только значения частот и частостей, то вероятность можно оценить только с некоторой долей надежности. На основе теории вероятностей разработан метод оценки результатов наблюдений, т.е. оценки степени надежности вывода - коэффициент достоверности t.

1.3.3. Основные теоремы теории вероятностей

На лесной практике часто требуется определять вероятности событий, непосредственное экспериментальное воспроизведение которых затруднено. Например, если требуется определить повреждения древостоя при выполнении механизированных рубок, ясно, что определение этой вероятности по частоте практически невозможно. Во-первых, заложение пробных площадей окажется непомерно дорогостоящим. Во-вторых, часто требуется оценить вероятность того или иного исхода рубок не для существующих лесосечных машин и технологий, а для проектируемых. Обычно такая оценка и производится для того, чтобы выявить наиболее рациональные параметры перспективных технологий и машин.

Поэтому для определения вероятностей событий применяются не прямые методы, а косвенные, которые позволяют по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий. Теория вероятностей, по сути, представляет собой систему косвенных методов, использование которых позволяет свести объем экспериментальных работ к минимуму.

При применении косвенных методов всегда в той или иной форме используются основные теоремы теории вероятностей:

• теорема сложения вероятностей,

• теорема умножения вероятностей.

Прежде чем сформулируем теоремы, целесообразно ввести понятия о сумме событий и произведении событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если опыт состоит в трех выстрелах и рассматриваются события:

A₀ - ни одного попадания,

A₁ - ровно одно попадание,

A₂ - ровно два попадания,

A₃ - ровно три попадания,

то событие

А₀₃ = A₀ + A₁ + A₂ + A₃

представляет собой событие, состоящее в появлении не более трех попаданий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если опыт состоит в трех выстрелах и даны события:

В₁ - промах при первом выстреле,

В₂ - промах при втором выстреле,

В₃ - промах при третьем выстреле,

то событие

В₁₃ = В₁  В₂  В₃

представляет собой событие, при котором в мишени не будет ни одного попадания.

При определении вероятностей часто сложные события представляются в виде комбинации более простых событий с использованием операций сложения и произведения событий.

Например, пусть по мишени производится три выстрела и рассматриваются следующие элементарные события:

A₁ - попадание при первом выстреле,

A₂ - попадание при втором выстреле,

A₃ - попадание при третьем выстреле,

В₁ - промах при первом выстреле,

В₂ - промах при втором выстреле,

В₃ - промах при третьем выстреле.

Рассмотрим сложное событие С, состоящее в том, что в результате трех выстрелов будет не менее двух попаданий. Это событие можно записать в виде следующей комбинации элементарных событий:

С = A₁  A₂  В₃ + A₁  В₂  А₃ + В₁  A₂  А₃ + A₁  A₂  А₃.

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом. Вероятность суммы несовместных событий равна вероятности этих событий:

Р(A_i) = Р(A_i).

Теорема умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом. Вероятность произведения несовместных событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(A_i) = Р(A_i).