12.3. Метод статистического моделирования

Приведенные формулы (12.1) и (12.2) могут быть использованы для систем независимых случайных величин. Однако для технических систем, как правило, случайные параметры являются зависимыми. Причем эта зависимость не функциональная, а корреляционная. Поэтому для анализа случайных факторов, заданных распределением, широкое применение нашли теория марковских процессов и метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).

В задачах принятия оптимальных решений широкое применение получил метод Монте-Карло. Основными особенностями этого метода, основанного на многократном повторении одного и того же алгоритма для каждой случайной реализации, являются: универсальность (метод не накладывает практически никаких ограничений на исследуемые параметры, на вид законов распределения); простота расчетного алгоритма; необходимость большого числа реализаций для достижения хорошей точности; возможность реализации на его основе процедуры поиска оптимальных параметров проектирования. Отметим основные факторы, определившие применение метода статистического моделирования в задачах исследования качества при проектировании: метод применим для задач, формализация которых другими методами затруднена или даже невозможна; возможно применение этого метода для машинного эксперимента над не созданной в натуре системой, когда натурный эксперимент затруднен, требует больших затрат времени и средств или вообще недопустим по другим соображениям.

12.4. Контрольные вопросы и задания

1. Приведите математическую формулировку целевой функции в задаче стохастического программирования при M- и Р-постановках.

2. Приведите математическую формулировку задачи стохастического программирования при M-постановке целевой функции и вероятностных ограничениях в общем виде и при использовании нормального закона распределения.

3. Как влияют на результат решения стохастической задачи величины, определяющие ее вероятностный характер?

Глава 13.

Нелинейное программирование

13.1. Постановка задач нелинейного программирования

Задачами нелинейного программирования (НЛП) называются задачи, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. НЛП представляет собой наиболее характерный метод оптимизации при проектировании машин и технологических процессов и служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных материальных, финансовых и трудовых ресурсов.

В сфере лесного комплекса к их числу относятся следующие задачи:

• оптимальное проектирование лесных машин и оборудования;

• рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

• оптимизации системы сервиса и технического обслуживания машинно-тракторного парка и др.

Постановка практической задачи НЛП включает следующие основные этапы: определение показателя эффективности, переменных задачи, задание целевой функции W(x), подлежащей минимизации или максимизации, функциональных h_k(x), g_j(x) и областных x_li <x_i <x_ui ограничений. (По крайней мере, или целевая функция, или одно из функциональных ограничений должны быть нелинейны).

Задачи НЛП можно классифицировать в соответствии с видом функций W(x), h_k(x), g_j(x) и размерностью и содержанием вектора x. В самом общем виде классификация представлена в табл. 13.1.

Таблица 13.1

Вид W(x)	Вид hk(x), gj(x)	Число пере-менных	Название задачи оптимизация
Нелинейная	Отсутствуют	=1	Безусловная однопараметрическая
Нелинейная	Отсутствуют	>1	Безусловная многопараметрическая
Нелинейная или линейная	Нелинейные или линейные*	>1	Условная нелинейная

^*

Задачи с квадратичными целевыми функциями и линейными ограничениями относят к квадратичному программированию.