- •Ю.Ю. Герасимов, в.К. Хлюстов
- •Математические методы и модели в расчетах на эвм: применение в лесоуправлении и экологии
- •Часть 1. Вариационная статистика
- •Глава 1.
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Основные понятия статистики
- •1.3. Основы теории вероятностей
- •1.3.1. Понятие случайной величины
- •1.3.2. Классическое и статистическое определения вероятности события
- •1.3.3. Основные теоремы теории вероятностей
- •1.4. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 2.
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Классификация и группировка вариант
- •2.3. Графическое представление вариационных рядов
- •2.4.1. Показатели центральной тенденции
- •2.4.2. Показатели вариации
- •2.4.3. Достоверность статистических показателей
- •2.4.4. Показатели скошенности и крутизны
- •2.5. Доверительный интервал
- •2.6. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 3.
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Нормальное распределение
- •3.3. Логнормальное распределение
- •3.4.2. Бета-распределение
- •3.5. Распределение Пуассона
- •3.6. Семейство кривых распределения Джонсона
- •3.7. Семейство кривых Пирсона
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 4.
- •4.1. Постановка задачи
- •4.3. Сравнение эмпирического распределения с теоретическим (критерий "хи-квадрат")
- •4.5. Сравнение дисперсий двух эмпирических совокупностей
- •4.6. Сравнение частот взвешенных рядов по критерию
- •4.7. Использование пакетов прикладных программ
- •4.8. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 5.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Однофакторный комплекс
- •5.3. Двухфакторный комплекс
- •5.4. Использование ms Excel для проведения дисперсионного анализа
- •5.4.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •5.4.2. Двухфакторный дисперсионный анализ без повторения
- •5.5. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 6.
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Коэффициент корреляции
- •6.3. Корреляционное отношение
- •6.4. Схема полного корреляционного анализа
- •6.5. Использование пакетов прикладных программ Вычисление коэффициента корреляции с использованием ms Excel
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 7.
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Статистический анализ одномерных моделей
- •Уравнение прямой линии
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение показательной кривой
- •Окончательный выбор типа уравнения регрессии
- •7.4. Множественная регрессия
- •7.5. Применение ms Excel для расчета регрессии
- •Часть 2. Исследование операций
- •Глава 8.
- •8.1. Общие положения
- •8.2. Основные понятия системного анализа
- •8.3. Основные понятия исследования операций
- •8.4. Постановка задач принятия оптимальных решений
- •8.5. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 9.
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Графическое решение задачи линейного программирования
- •9.3. Задача линейного программирования в стандартной форме
- •Преобразования неравенств
- •Преобразование неограниченных по знаку переменных
- •2.4. Основы симплекс - метода линейного программирования
- •9.5. Метод искусственных переменных
- •9.6. Анализ чувствительности в линейном программировании
- •9.7. Решение задач линейного программирования на эвм
- •9.8. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 10.
- •10.1. Постановка задачи
- •10.2. Метод ветвей и границ
- •10.3. Рекомендации по формулировке и решению задач цп
- •10.4. Задачи оптимизации раскроя
- •XA 0, xB 0, k 0 - целые.
- •XA 0, xB 0, k 0 - целые.
- •10.5. Постановка задачи дискретного программирования
- •Решение задач целочисленного и дискретного программирования на эвм
- •10.7. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 11.
- •11.1. Общие понятия
- •11.2. Практические рекомендации при постановке задач динамического программирования
- •11.3. Оптимальное распределение ресурсов
- •11.4. Оптимальное управление запасами
- •11.5. Оптимальная политика замены оборудования
- •11.6. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 12.
- •12.1. Постановка задачи
- •12.2. Применение стохастического программирования
- •12.3. Метод статистического моделирования
- •12.4. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 13.
- •13.1. Постановка задач нелинейного программирования
- •13.2. Безусловная однопараметрическая оптимизация
- •13.2.1. Методы исключения интервалов
- •13.2.2. Методы полиномиальной аппроксимации
- •13.2.3. Методы с использованием производных
- •13.2.4. Сравнение методов безусловной однопараметрической оптимизации
- •13.3. Безусловная многопараметрическая оптимизация
- •13.3.1. Постановка задачи
- •13.3.2. Методы прямого поиска
- •13.3.3. Градиентные методы
- •13.4. Нелинейная условная оптимизация
- •13.4.1. Постановка задач условной нелинейной оптимизации
- •13.4.2. Методы штрафных функций
- •13.4.3. Методы прямого поиска
- •13.4.4. Методы линеаризации
- •13.5. Решение задач нелинейной оптимизации на эвм
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •Приложение 1 Значения t - распределения Стьюдента при доверительной вероятности р и числе степеней свободы k
- •Плотность вероятности нормального распределения
- •Приложение 3 Значения χ2 при доверительной вероятности р и числе степеней свободы k
- •Продолжение приложения 3
- •Значения -функции
- •Приложение 5 Значения - в распределении Джонсона
- •Продолжение приложения 5
- •Продолжение приложения 5
- •Продолжение приложения 5
- •Приложение 6
- •Продолжение приложения 6
- •Продолжение приложения 6
- •Продолжение приложения 6
- •Приложение 7
- •Продолжение приложения 7
- •Продолжение приложения 7
- •Продолжение приложения 7
11.6. Контрольные вопросы и задания
Дайте общую формулировку задач оптимизации в форме модели динамического программирования.
Рассмотрите и поясните ситуации из лесной экономики, лесного хозяйства или лесоэксплуатации, требующие применения для их решения методов динамического программирования.
Поясните понятия: управление, оптимальное и условно оптимальное управления, состояние системы, траектории перехода. Приведите примеры.
Как определяются условно оптимальные управления на каждом из шагов?
Почему безусловно оптимальное управление может быть определено только для последнего шага (считая от конечного состояния) и при условии, что рассмотрены условно оптимальные управления на всех предыдущих шагах?
Проанализируйте основные правила решения задач динамического программирования.
Разработать оптимальную политику замены оборудования (не старше 10 лет), если известны: стоимость p(t) продукции, производимой в течении года с использованием данного оборудования; ежегодные расходы g(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s(t); стоимость z нового оборудования (с расходами, связанными с установкой, накладкой и запуском оборудования). После составления матрицы максимальных прибылей сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования данного возраста t в плановом периоде данной продолжительности N. Числовые данные в десяти вариантах приведены в табл. 11.6 и табл. 11.7.
В табл. 11.8 приведены значения fi(u) возможного прироста выпуска продукции в четырех лесхозах в зависимости от выделенной на модернизацию производства суммы u. Распределить между лесхозами 1 млн. руб., чтобы общий прирост выпуска продукции был максимальным. Для упрощения вычислений значения u принимать кратными 200 тыс. руб.
Решить задачу о замене форвардера (пример 11.3) при условии, что машина может заменяться не новой, а бывшей в употреблении q лет. Заданы: стоимость форвардера возраста q лет составляет zi (q) = zi(0) 2-q руб. при начальной покупной цены машины в i году zi (0) = 50000 + 5000 (i - 1) руб. После t лет эксплуатации при покупке в возрасте q лет машину можно продать за si(t,q) = zi(q) 2-t руб. Стоимость содержания машины в течение i года, если форвардер возраста q эксплуатируется еще t лет составляет gi(t,q) = 0,1 zi(q)(t+1) руб.
Составить модель динамического программирования для решения задачи оптимальной политики замены оборудования при условии, что, кроме управлений “сохранение” и “замена”, на каждом шаге возможно третье решение - “капитальный ремонт”, и предполагая, что после него оборудование можно рассматривать как новое. Стоимость капитального ремонта равна r(t).
Распределите имеющиеся средства S между тремя лесхозами при заданных функциях прибыли fi(u), i=1,2,3 из условия максимизации суммарной прибыли согласно данным табл. 11.9.
Таблица 11.6
Вариант |
Продолжительность периода N |
Возраст t оборудования |
Остаточная стоимость s(t) |
Стоимость z нового оборудования |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
10 |
7 |
0 |
10 |
|
8 |
1 |
|
|
1 |
10 |
7 |
2 |
11 |
|
6 |
4 |
|
|
2 |
10 |
8 |
2 |
14 |
|
7 |
5 |
|
|
3 |
10 |
6 |
0 |
10 |
|
8 |
5 |
|
|
4 |
10 |
8 |
3 |
10 |
|
6 |
4 |
|
|
5 |
10 |
7 |
0 |
8 |
|
9 |
6 |
|
|
6 |
10 |
6 |
5 |
17 |
|
8 |
5 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
10 |
9 |
2 |
12 |
|
7 |
4 |
|
|
8 |
10 |
6 |
0 |
6 |
|
9 |
8 |
|
|
9 |
10 |
9 |
1 |
13 |
|
6 |
3 |
|
|
Таблица 11.7.
|
Возраст оборудования t |
Вариант |
||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
p(t)
|
20 22 25 28 21 24 28 20 26 23 |
20 22 24 27 20 24 27 20 25 23 |
20 21 24 27 19 24 26 19 25 22 |
19 21 23 26 19 23 25 18 24 22 |
19 21 22 25 18 23 24 17 24 21 |
18 20 22 25 18 22 24 16 23 20 |
18 20 21 24 17 21 23 16 23 20 |
17 19 21 23 16 21 22 15 23 20 |
17 19 21 23 16 21 22 15 22 19 |
16 19 20 22 15 20 22 14 21 18 |
15 18 20 21 15 20 21 13 21 18 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
G(t) |
10 12 13 16 11 13 15 8 15 11 |
11 13 13 16 11 14 15 9 15 12 |
12 13 14 17 11 15 16 9 16 13 |
12 14 15 17 12 16 17 10 16 14 |
13 15 15 17 12 17 17 10 17 14 |
13 15 16 18 13 17 18 10 17 15 |
14 16 16 18 13 17 19 11 18 16 |
14 16 17 19 13 18 20 11 19 17 |
15 17 18 20 14 19 20 12 19 17 |
15 18 19 20 14 19 21 13 20 17 |
15 18 20 21 15 20 21 13 21 18 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Таблица 11.8.
Прирост выпуска продукции |
Средства с, тыс. руб. |
Вариант |
||||
на предприятиях, gi(u) |
200 |
400 |
600 |
800 |
1000 |
|
g1(u) |
95 97 73 94 98 110 123 145 167 122 |
183 172 297 205 183 214 267 244 281 283 |
241 292 371 352 293 404 402 373 364 391 |
383 382 411 443 414 542 604 455 493 472 |
501 472 593 574 602 623 721 582 604 696 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
g2(u) |
114 116 98 124 82 133 164 125 108 142 |
191 343 194 252 194 203 212 305 292 264 |
302 463 284 341 303 424 365 422 423 404 |
442 533 373 464 472 451 491 583 501 511 |
591 752 463 574 585 612 633 714 745 683 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Продолжение таблицы 11.8.
Прирост выпуска продукции |
Средства с, тыс. руб. |
Вариант |
||||
на предприятиях, gi(u) |
200 |
400 |
600 |
800 |
1000 |
|
g3(u) |
164 135 172 118 125 123 99 134 153 116 |
321 283 274 206 253 227 174 252 273 241 |
402 374 373 322 513 344 355 453 464 431 |
571 492 483 482 581 552 512 621 581 514 |
701 612 661 613 694 603 652 701 652 683 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
g4(u) |
133 126 168 144 72 104 155 77 175 166 |
273 354 302 233 155 273 252 334 235 216 |
442 403 423 404 522 333 512 463 384 365 |
692 542 651 503 594 573 622 602 533 491 |
733 734 815 583 602 691 762 683 674 723 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Таблица 11.9.
Вариант |
S, млн.руб |
f1(u) |
f2(u) |
f3(u) |
0 |
5 |
1,4 u |
0,012 u2 |
-0,024 u2+4 u |
1 |
6 |
1,8 u |
0,017 u2 |
-0,048 u2+7 u |
2 |
7 |
1,2 u |
0,023 u2 |
-0,033 u2+6 u |
3 |
5 |
2,4 u |
0,041 u2 |
-0,073 u2+11 u |
4 |
4 |
3,5 u |
0,036 u2 |
-0,023 u2+3 u |
5 |
7 |
7,1 u |
0,053 u2 |
-0,025 u2+5 u |
6 |
4 |
6,4 u |
0,022 u2 |
-0,024 u2+4 u |
7 |
5 |
2,1 u |
0,019 u2 |
-0,028 u2+4 u |
8 |
7 |
1,9 u |
0,017 u2 |
-0,032 u2+5 u |
9 |
8 |
3,4 u |
0,021 u2 |
-0,024 u2+4 u |