11.4. Оптимальное управление запасами

Группа задач, в которых рассматривается оптимальное управление запасами, является наиболее характерной для динамического программирования. Это связано с тем, что в задачах управления запасами процесс естественным образом разворачивается во времени, причем управление как раз и заключается в том, что решение на данном промежутке времени принимается с учетом того состояния, к которому пришла система за предшествующие периоды времени. Кроме того, эти задачи связаны, как правило, с дискретным характером переменных и, следовательно, решаются достаточно сложно другими методами.

11.5. Оптимальная политика замены оборудования

Инженеру на практике часто приходится сталкиваться с проблемой старения оборудования (физический и моральный износ), в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, а также снижается производительность. Наступает момент, когда старое оборудование более выгодно продать, заменив новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат. При этом оборудование можно заменить либо новым оборудованием того же вида, либо новым или бывшем в употреблении, более совершенным в техническом отношении, с учетом технического прогресса.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Показателем эффективности может служить прибыль от эксплуатации. Известно, что при заданном плане выпуска продукции максимизация прибыли эквивалентна минимизации затрат. Практически удобнее пользоваться вторым критерием, вводя для учета снижения производительности условно приведенные затраты.

Метод динамического программирования - единый подход к решению всех видов задач о замене.

При составлении модели динамического программирования процесс замены рассматривается как n-шаговый, если разбить весь период на N промежутков. Так как в начале каждого из этих промежутков принимается решение о сохранении оборудования, либо его замене, то управление на i шаге (i=1,2,...,n) содержит лишь две альтернативные переменные. Обозначим через u^c решение, состоящее в сохранении старого оборудования, а через u^з - решение, состоящее в замене старого оборудования новым. Условная оптимизация на каждом шаге состоит в вычислении двух величин и в выборе из них наибольшей (наименьшей). Это значительно упрощает расчеты на стадии условной оптимизации и позволяет решать вручную задачи о замене с большим числом шагов.

Пример 11.3. Замена форвардера.

Рассматривается эксплуатация форвардера в течение шести лет. В начале каждого года может быть принято решение о замене машины новой. Стоимость нового форвардера на i шаге эксплуатации составляет z_i = 50000 + 5000 (i - 1) руб. После t лет эксплуатации машину можно продать за s(t) = z_i 2^-t руб. Стоимость содержания машины в течение i года составляет g(t) = 0,1 z_i(t+1) руб. Найти оптимальный способ эксплуатации машины, когда нужно заменить машину новой, чтобы суммарные затраты (с учетом затрат на покупку новой машины в начале срока эксплуатации и компенсации за счет заключительной продажи) были минимальны.

Процесс эксплуатации форвардера описывается шестью шагами. Состояние s_i-1 системы в начале i шага характеризуется одним параметром t - возрастом машины. Управление на каждом шаге состоит в выборе одного из двух решений: u^c решение, состоящее в сохранении форвардера, и через u^з - решение, состоящее в его замене. Основные функциональные уравнения модели динамического программирования имеют вид:

Условная оптимизация на последнем, шестом, шаге сводится к оптимизации по следующему уравнению, учитывая заданные в исходных условиях функции z_i

где t=0,1,...,5.

Числовые данные приведены в табл. 11.3. Числовые данные по условной оптимизации с пятого по первый шаг приведены в табл. 11.4 и 11.5 согласно уравнениям:

Таблица 11.3

T	7500(t+1)-8000 2-(t+1)		W6(t)	u6(t)
0 1 2 3 4 5	-32500 -5000 -12500 25000 30000 43750	-32500 5000 23750 33125 37812 40156	-32500 -5000 12500 25000 35000 40156	uc uc uc uc uc uз

Таблица 11.4

	I
	5					4
	T
	0	1	2	3	4	0	1	2	3
500(t+1) (i+9)	7000	14000	21000	28000	35000	6500	13000	19500	26000
Wi+1(t+1)	-5000	12500	25000	35000	40156	26500	46000	63000	67625
Wi(t,uc)	2000	26500	46000	63000	75156	33000	59000	82500	93625
5000(i+9)(1,1-2-t)	7000	42000	59500	68250	72625	6500	39000	55250	63375
Wi+1(1)	-5000	-5000	-5000	-5000	-5000	26500	26500	26500	26500
Wi(t,up)	2000	37000	54500	63250	67625	33000	65500	81750	89875
Wi(t)	2000	26500	46000	63000	67625	33000	59000	81750	89875
ui(t)	uc	uc	uc	uc	uз	uc	uc	uз	uз

Таблица 11.5

	I
	3			2		1
	T
	0	1	2	0	1	0
1	2	3	4	5	6	7
500(t+1)(i+9)	6000	12000	18000	5500	11000	55000
Wi+1(t+1)	59000	81750	89875	93750	107875	118875
Wi(t,uc)	65000	93750	107875	99250	118875	173875

Продолжение таблицы 11.8.

1	2	3	4	5	6	7
5000(i+9)(1,1-2-t)	6000	36000	51000	5500	33000
Wi+1(1)	59000	59000	59000	93750	93750
Wi(t,up)	65000	95000	110000	99250	12675
Wi(t)	65000	93750	107875	99250	118875	173875
ui(t)	uc	uc	uc	uc	uс	uc

Безусловная оптимизация приводит к результату: W^*=173875 руб.; оптимальное управление U^*=(u^c, u^c, u^c, u^з, u^c, u^c). Следовательно, приобретенный форвардер целесообразно эксплуатировать в течение трех лет, на четвертом году его следует заменить новым и продолжать эксплуатировать оставшееся время.