9.3. Задача линейного программирования в стандартной форме

Задача ЛП в стандартной форме с m ограничениями и n переменными имеет следующий вид:

W = c_1x_{1 +} c_2x₂ + ... + c_nx_n  min (max)

при ограничениях

a_11x_{1 +} a_12x₂ + ... + a_1nx_n = b₁;

a_21x_{1 +} a_22x₂ + ... + a_2nx_n = b₂;

...

a_m1x_{1 +} a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m;

x₁  0; x₂  0;...; x_n  0;

b₁  0; b₂  0;...; b_m  0.

В матричной форме

W = c x  min (max)

при ограничениях

Ax = b; x  0; b  0,

где

A - матрица размерности mxn ;

x - вектор-столбец переменных размерности nx1;

b - вектор-столбец ресурсов размерности mx1;

с - вектор-строка оценок задачи ЛП 1xn .

В исходной задаче ЛП ограничения часто имеют вид не равенств, а неравенств. В некоторых инженерных задачах не все переменные являются неотрицательными. Следовательно, требуется уяснить механизм преобразования неравенств к равенствам и неограниченных по знаку переменных к неотрицательным.

Преобразования неравенств

Ограничения в виде неравенств можно преобразовать в равенства при помощи введения так называемых остаточных или избыточных переменных.

Ограничение по использованию земли из примера 2.1

4 x₁ + 1,5 x₂  24

можно преобразовать в равенство при помощи остаточной переменной

4 x₁ + 1,5 x₂ + x₃ = 24.

Переменная x₃ неотрицательна и соответствует разности правой и левой частей неравенства.

Аналогично

x₁  2

можно преобразовать путем введения избыточной переменной x₄:

x₁ - x₄ = 2 .

Преобразование неограниченных по знаку переменных

Переменные, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, следует заменять разностью двух неотрицательных:

x = x⁺ - x^-; x⁺  0; x^-  0.

Приведем к стандартной форме следующую задачу ЛП:

W = x₁ - 2 x₂ + 3 x₃  max;

x₁ + x₂ + x₃  8;

x₁ - x₂ + x₃  9;

3 x₁ - x₂ - 2 x₃ = -17;

x₁  0; x₂  0,

где x₃ - переменная, неограниченная по знаку.

Последовательность действий следующая:

1. Умножим обе части равенства на -1, так как все элементы матрицы ресурсов должны быть неотрицательными.

2. Заменим x₃ на x₄-x₅, где x₄ и x₅  0.

3. Введем дополнительные остаточную x₆ и избыточную x₇ переменные в два первых неравенства.

4. Припишем нулевые значения оценок задачи ЛП при переменных x₆ и x₇. Значение целевой функции при этом не изменится.

После преобразований имеем стандартную форму задачи ЛП:

W = x₁ - 2 x₂ + 3 x₄ - 3 x₅  max;

x₁ + x₂ + x₄ - x₅ + x₆ = 8;

x₁ - x₂ + x₄ - x₅ - x₇ = 9;

-3 x₁ + x₂ + 2 x₄ - 2 x₅ = 17;

x₁  0; x₂  0; x₄  0; x₅  0; x₆  0; x₇  0.

2.4. Основы симплекс - метода линейного программирования

Симплекс - метод представляет собой итеративную процедуру решения задач ЛП, записанную в стандартной форме. Система уравнений, характеризующая набор условий приводится к каноническому виду с помощью элементарных операций над матрицами:

x_{1 +} a_1,m+1x_m+1 + ... + a_1sx_s+...+ a_1nx_n = b₁;

...

x_{2 +} a_2,m+1x_m+1 + ... + a_2sx_s+...+ a_2nx_n = b₂;

...

x_{m +} a_m,m+1x_m+1 + ... + a_msx_s+...+ a_mnx_n = b_m.

Переменные x₁, x₂,...,x_m, входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы и с нулевыми - в остальные, называются базисными. В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Остальные n-m переменных (x_m+1, ...,x_n) называются небазисными переменными.

Для приведения системы к каноническому виду можно использовать два типа элементарных операций над строками:

1. Умножение любого уравнения системы на положительное или отрицательное число.

2. Прибавление к любому уравнению другого уравнения системы, умноженного на положительное или отрицательное число.

Алгоритм симплекс - метода:

1. Выбираем начальное допустимое базисное решение. Базисным решением называется решение, полученное при нулевых значениях небазисных переменных, т.е. x_i=0, i=m+1,...,n. Базисное решение называется допустимым базисным решением, если значения входящих в него базисных переменных неотрицательны, т.е. x_j = b_j  0, j=1,2,...,m. В этом случае целевая функция примет следующий вид: W = c_bx_b = c₁b₁ + c₂b₂+...+c_mb_m. Заполняем первоначальную таблицу симплекс - метода:

Таблица 9.3

cb	xb	c1	C2	...	cm	cm+1	...	cn	bi
	базис	x1	X2	...	xm	xm+1	...	xn
с1	x1	1	0	...	0	a1,m+1	...	a1n	b1
с2	x2	0	1	...	0	a2,m+1	...	a2n	b2
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
cm	xm	0	0	...	1	am,m+1	...	amn	bm
									W

2. Вычисляем вектор относительных оценок c при помощи правила скалярного произведения

c_j = c_j - c_bS_j ,

где

с_b - вектор оценок базисных переменных;

S_j - j-тый столбец в канонической системе, соответствующей рассматриваемому базису.

Дополняем первоначальную таблицу c – строкой (табл. 9.4).

Таблица 9.4

cb	xb	c1	c2	...	cm	cm+1	...	cn	bi
	базис	x1	x2	...	xm	xm+1	...	xn
с1	x1	1	0	...	0	a1,m+1	...	a1n	b1
с2	x2	0	1	...	0	a2,m+1	...	a2n	b2
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
cm	xm	0	0	...	1	am,m+1	...	amn	bm
c – строка		0	0	...	0		...		W

3. Если все оценки c_j0 (c_j0), i=1,...,n, то текущее допускаемое решение - максимальное (минимальное). Решение найдено.

4. В противном случае в базис необходимо ввести небазисную переменную x_r с наибольшим значением c_j вместо одной из базисных переменных (табл. 9.5).

Таблица 9.5

cb	xb	c1	c2	...	cm	cm+1	...	cr	...	cn	bi
	базис	x1	x2	...	xm	xm+1	...	xr	...	xn
с1	x1	1	0	...	0	a1,m+1	...	a1r	...	A1n	b1
с2	x2	0	1	...	0	a2,m+1	...	a2r	...	A2n	b2
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
cm	xm	0	0	...	1	am,m+1	...	amr	...	amn	bm
c - строка		0	0	...	0		...		...		W
								max

5. При помощи правила минимального отношения min(b_i /a_ir) определяем переменную x_p, выводимую из базиса. Если коэффициент a_ir отрицателен, то b_i/a_ir = . В результате пересечение столбца, где находится вводимая небазисная переменная x_r, и строки, где находится выводимая базисная переменная x_p, определит положение ведущего элемента таблицы (табл. 9.6).

Таблица 9.6

cb	xb	c1	c2	...	cm	cm+1	...	cr	...	cn	bi	bi/ air
		x1	x2	...	xm	xm+1	...	xr	...	xn
с1	x1	1	0	...	0	a1,m+1	...	a1r	...	a1n	b1	b1/a1r
с2	x2	0	1	...	0	a2,m+1	...	a2r	...	a2n	b2	b2/a2r
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
сp	xp	0	0	...	0	ap,m+1	...	apr	...	apn	bp	bp/apr	m i n
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
cm	xm	0	0	...	1	am,m+1	...	amr	...	amn	bm	bm/anr
c -стро-ка		0	0	...	0		...		...		W
								max

6. Применяем элементарные преобразования для получения нового допускаемого базового решения и новой таблицы. В результате ведущий элемент должен равняться 1, а остальные элементы столбца ведущего элемента примут нулевое значение.

7. Вычисляем новые относительные оценки с использованием правила скалярного произведения и переходим к шагу 4.

В качестве примера решим задачу ЛП примера 9.1 Оптимизация размещения побочного производства лесничества:

5000 x₁ + 2500 x₂  max,

4 x₁ + 1,5 x₂  24;

1200 x₁ + 150 x₂  6000;

20 x₁ + 20 x₂  200;

x₁  2;

x₁  0; x₂  0.

Приведем задачу к стандартной форме:

5000 x₁ + 2500 x₂  max,

4 x₁ + 1,5 x₂ + x₃ = 24;

1200 x₁ + 150 x₂ +x₄ = 6000;

20 x₁ + 20 x₂ + x₅ = 200;

x₁ - x₆ = 2;

x₁ ... x₆  0.

Приведем систему равенств к каноническому виду. Первые три уравнения имеют соответственно по базисной переменной x₃, x₄, x₅, однако в четвертом она отсутствует, ввиду того, что при переменной x₆ стоит отрицательный единичный коэффициент. Для приведения системы к каноническому виду используем метод искусственных переменных. Идея метода заключается в следующем. Введем искусственную переменную x₇ в последнее уравнение

5000 x₁ + 2500 x₂  max,

4 x₁ + 1,5 x₂ + x₃ = 24;

1200 x₁ + 150 x₂ +x₄ = 6000;

20 x₁ + 20 x₂ + x₅ = 200;

x₁ - x₆ + x₇ = 2;

x₁ ... x₇  0.

Вспомогательная система имеет следующее допустимое базовое решение:

x₁ = x₂ = 0, x₃ =24, x₄= 6000, x₅ = 200, x₇ = 2.

Полученное решение недопустимо для первоначальной задачи, поскольку x₇ положительно. С другой стороны, любое базисное решение вспомогательной системы, в котором x₇ обращается в ноль, допустимо для исходной задачи. Этого можно добиться при помощи двухэтапного симплекс - метода:

1. Вводится искусственная целевая функция, равная сумме искусственных переменных (в нашем случае она одна), которая минимизируется при помощи симплекс - метода. Если минимальное значение вспомогательной задачи равно 0, то все искусственные переменные (x₇ в частности) обращаются в нуль и получается допустимое базисное решение начальной задачи.

2. На втором этапе допустимое базовое решение, полученное на первом этапе, улучшается в соответствии с целевой функцией исходной задачи.

В соответствии с рассмотренным алгоритмом на первом этапе решаем симплекс - методом следующую задачу ЛП:

x₇  min,

4 x₁ + 1,5 x₂ + x₃ = 24;

1200 x₁ + 150 x₂ +x₄ = 6000;

20 x₁ + 20 x₂ + x₅ = 200;

x₁ - x₆ + x₇ = 2;

x₁ ... x₇  0.

Строим первоначальную таблицу (табл. 9.7).

Таблица 9.7

cb	xb	0	0	0	0	0	0	1	bi	bi/air
	базис	X1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x3	4	1.5	1	0	0	0	0	24	24/4
0	x4	1200	150	0	1	0	0	0	6000	60/12
0	x5	20	20	0	0	1	0	0	200	20/2
1	x7	1	0	0	0	0	-1	1	2	2/1	min
c	строка	-1	0	0	0	0	1	0	W=2
		min

Очевидно, что первоначальную таблицу необходимо модифицировать путем введения в базис переменной x₁ вместо x₇. Строим смежную симплекс-таблицу (табл.9.8).

Таблица 9.8

cb	xb	0	0	0	0	0	0	1	bi
	базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x3	0	1,5	1	0	0	4	-4	16
0	x4	0	150	0	1	0	1200	-1200	3600
0	x5	0	20	0	0	1	20	-20	160
0	x1	1	0	0	0	0	-1	1	2
c	строка	0	0	0	0	0	0	1	W=0

В табл. 9.8 все коэффициенты в строке c положительны или равны нулю, поэтому текущее базисное решение оптимальное (минимальное), которое используем на втором этапе двухэтапного симплекс - алгоритма. С этой целью возвращаемся к первоначальной целевой функции W = 5000x₁ + 2,5x₂ и продолжаем вычисления в симплекс – таблицах (табл. 9.9 – табл. 9.11). В табл. 9.9 как переменная x₂, так и x₆ могут быть введены в базис, т.к. их коэффициенты в строке c положительны (решается задача минимизации). Вводим x₂ исходя из того факта, что данная переменная отражает искомое количество партий деревьев и в результате расчетов должна находиться в базисе. В принципе, искусственная переменная x₆ также может быть введена в базис на этом этапе, однако процедура расчетов при этом значительно удлинится.

Таблица 9.9

cb	xb	5000	2500	0	0	0	0	0	bi	bi/air
	базис	x1	X2	x3	x4	X5	x6	x7
0	x3	0	1,5	1	0	0	4	-4	16	16/1,5
0	x4	0	150	0	1	0	1200	-1200	3600	360/15
0	x5	0	20	0	0	1	20	-20	160	16/2	m i n
5000	x1	1	0	0	0	0	-1	1	2	
c - строка		0	2500	0	0	0	5000	-5000	W= 10000

Таблица 9.10

cb	xb	5000	2500	0	0	0	0	0	bi	bi/air
	ба-зис	X1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x3	0	0	1	0	-0,075	2,5	-2,5	4	4/ 2,5	m i n
0	x4	0	0	0	1	-7,5	1050	-1050	2400	240/105
2500	x2	0	1	0	0	0,05	1	-1	8	8/2
5000	x1	1	0	0	0	0	-1	1	2	
c - строка		0	0	0	0	-125	2500	-5000	W= 30000
							max

Таблица 9.11

cb	xb	5000	2500	0	0	0	0	0	bi
	базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x6	0	0	0,4	0	-0,03	1	-1	1,6
0	x4	0	0	-420	1	24	0	0	720
2500	x2	0	1	-0,4	0	0,08	0	0	6,4
5000	x1	1	0	0,4	0	-0,03	0	0	3,6
c -строка		0	0	-1000	0	-50	0	0	W=34000

Полученные в табл. 9.11 окончательные результаты полностью соответствуют оптимальному решению в графическом методе (см. рис. 9.1). Остается открытым вопрос о целочисленности получаемых результатов. Если в графической интерпретации задачи ЛП мы можем визуально оценить ситуацию и принять окончательное решение путем субъективного округления, то в табличном методе, а тем более при решении задачи на ЭВМ, требуется применение специальной процедуры, которая получила название целочисленное программирование.