8.5. Контрольные вопросы и задания

1. Какие научно-технические предпосылки становления науки “Исследование операций” можно выделить?

2. Изобразите графически связи исследования операций с другими науками.

3. Приведите основные принципы системного анализа.

4. Приведите примеры декомпозиции систем в лесном хозяйстве и лесной промышленности.

5. Приведите примеры иерархии систем в лесном хозяйстве и лесной промышленности.

6. Дайте определения и поясните суть следующих терминов:

• операция;

• цель;

• оптимальное решение;

• показатель эффективности;

• множество допустимых решений.

Глава 9.

Линейное программирование

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи по темам:

• рациональное использование сырья и материалов, оптимизация раскроя;

• оптимизация производственной программы предприятий;

• оптимальное размещение и концентрация производства;

• составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

• управление производственными запасами;

• прочие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

По оценкам американских экспертов около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на ЛП. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач ЛП и их многочисленным модификациям.

9.1. Постановка задачи

Постановка практической задачи ЛП включает следующие основные этапы: определение показателя эффективности, переменных задачи, задание линейной целевой функции W(x), подлежащей минимизации или максимизации, функциональных h_k(x), g_j(x) и областных x_li <x_i <x_ui ограничений.

Пример 9.1. Оптимизация размещения побочного производства лесничества

Лесничество имеет 24 га свободной земли под паром и заинтересовано извлечь из нее доход. Оно может выращивать условную растениеводческую продукцию, которая достигает товарного состояния за один год или бычков, отведя часть земли под пастбище. Растениеводческая продукция выращивается и продается партиями по 1000 кг. Требуется 1.5 га для выращивания одной партии продукции и 4 га для вскармливания одного бычка. Лесничество может потратить только 200 часов в год на свое побочное производство. Допустим, что требуется 20 часов для выращивания и заготовки одной партии продукции. Для ухода за одним бычком также требуется 20 часов. Лесничество имеет возможность израсходовать на эти цели 6 тыс. руб. Годовые издержки на одну партию растениеводческой продукции составляют 150 руб. и 1тыс. 200 руб. на одного бычка. Уже заключен контракт на поставку 2 бычков. По сложившимся ценам один килограмм продукции принесет чистый доход 2 руб. 50 коп., один бычок - 5 тыс. руб.

Постановка задачи.

1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять доход за операцию (годовой чистый доход с земли в рублях).

2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять:

x₁ - количество откармливаемых бычков в год;

x₂ - количество выращиваемой партии растениеводческой продукции по 1000 кг каждая в год.

3. Целевая функция:

5000 x₁ + 2500 x₂  max,

где

5000 - чистый доход от одного бычка, тыс. руб.;

2500 - чистый доход от одной партии растениеводческой продукции (1000 кг по 2 руб. 50 коп. за 1 кг).

4. Ограничения:

4.1. По использованию земли, га:

4 x₁ + 1,5 x₂  24.

4.2. По бюджету, руб.:

1200 x₁ + 150 x₂  6000.

4.3. По трудовым ресурсам, час:

20 x₁ + 20 x₂  200.

4.4. Обязательства по контракту, шт.:

x₁  2.

4.5. Областные ограничения:

x₁  0, x₂  0.

Пример 9.2. Оптимизация программы рубок с учетом фактора биоразнообразия

Леса включают в себя приблизительно 12000 га и находятся на побережье. Приблизительно 2400 га в устье реки заняты парками или используются для других рекреационных целей. Остальные 9600 га, которые состоят из 10 отдельных участков, размеры которых колеблются от 110 до 3870 га., доступны для многоцелевого использования и могут подвергаться техногенному воздействию. Участки леса находятся среди земель, на которых производится как сельскохозяйственная, так и лесная продукция. Доминирующая древесная порода - сосна: 85% лесной территории покрыты сосняками или смешанными сосновыми древостоями. Остающиеся 15% покрыты смешанными лиственными древостоями. Леса, предназначенные для многоцелевого использования, разделены на 66 выделов на основе данных последнего лесоустройства. Имеются таблицы хода роста древостоев. Планируемый 60-летний период проведения лесозаготовок разделен на 3 промежутка по 20 лет каждый.

Цель управления многоцелевыми лесами заключается в максимизации выхода ликвидной древесины с учетом необходимости сохранения первозданной лесной среды. Кроме того, объем древесины, приблизительно равный расчетной лесосеке, полагается заданным. Лесозаготовки выполняются по сплошнолесосечной технологии.

Решим данную задачу на примере одного условного лесного массива площадью 360 га., состоящего из трех групп древостоев, характеристики которых представлены в табл. 9.1. Заметим, что рассматриваемая далее технология принятия решений ввиду аналогичности целей и ограничений может быть использована и для планирования лесозаготовок по другим участкам.

Таблица 9.1.

Группа древо-стоев	Площадь, га	Запас вырубаемой древесины в будущем через указанный период, кбм/га
		1-20 лет (1)	21-40 лет (2)	41-60 лет (3)
1	100	3	10	30
2	200	12	17	20
3	60	25	20	18

1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять годовой выход деловой древесины.

2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять площади каждой из трех групп древостоев, каждая из которых может быть вырублена в любой из трех периодов, т.е. имеем 9 переменных x_ij, где i – группа древостоев под рубку, j - период вырубки:

x₁₁ - площадь древостоев группы 1, вырубаемых в период (1), га;

x₁₂ - площадь древостоев группы 1, вырубаемых в период (2), га;

x₁₃ - площадь древостоев группы 1, вырубаемых в период (3), га;

x₂₁ - площадь древостоев группы 2, вырубаемых в период (1), га;

x₂₂ - площадь древостоев группы 2, вырубаемых в период (2), га;

x₂₃ - площадь древостоев группы 2, вырубаемых в период (3) , га;

x₃₁ - площадь древостоев группы 3, вырубаемых в период (1), га;

x₃₂ - площадь древостоев группы 3, вырубаемых в период (2), га;

x₃₃ - площадь древостоев группы 3, вырубаемых в период (3), га.

3. Целевая функция:

3 x₁₁ + 12 x₂₁ + 25 x₃₁ + 10 x₁₂ + 17 x₂₂ + 20 x₃₂ + 30 x₁₃ + 20 x₂₃ + 18 x₃₃  max.

4. Ограничения:

4.1. По общей вырубаемой площади древостоев, га. Общая вырубаемая площадь древостоев в каждой группе за 3 периода не может превышать площадь группы древостоев. Это очевидное ограничение может быть формализовано следующим образом:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃  100,

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃  200,

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃  60.

4.2. По равномерности выхода вырубаемой древесины, м³. То же самое требование налагается на объем древесины, который вырубается в каждом периоде. С повторяющимися циклами проблема решается получением потенциально-возможного уровня рубки:

3 x₁₁ + 12 x₂₁ + 25 x₃₁ = 2000,

10 x₁₂ + 17 x₂₂ + 20 x₃₂ = 2000,

30 x₁₃ + 20 x₂₃ + 18 x₃₃ = 2000.

4.3. По расчетной лесосеке, га. Равная периодически вырубаемая лесосека принята во внимание с целью сохранения лесной среды и лесозаготовок. Предполагается, что120 га (360/3) - площадь, пройденная рубкой за период желательна. Это также указывает на то , что весь лесной массив должен быть пройден рубками за 60 лет. Для трех периодов это условие формулируется следующим образом:

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ = 120,

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 120,

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ = 120.

4.4. По ограничению в сохранении окружающей среды, га. Условие принимает во внимание ограничения по лесоводственно-биологическим соображениям. Вырубаемая лесосека для каждой группы древостоев в каждый период обеспечивает сохранение подроста и жизнедеятельность обитателей лесных фитоценозов. Это требование обеспечивает каждый вырубаемый период меньше, чем вся площадь в группе древостоев, и помогает обеспечить сбалансированность распределения возрастной и пространственной структуры в лесном массиве. Максимальная вырубаемая площадь по каждой группе древостоев за каждый период: для древостоев 1 группы - 40 га, 2 группы - 90 га, 3 группы - 25 га:

x₁₁  40, x₂₁  90, x₃₁  25,

x₁₂  40, x₂₂  90, x₃₂  25,

x₁₃  40, x₂₃  90, x₃₃  25.

4.5. Областные ограничения:

x₁₁, x₂₁, ... x₃₃  0.

Пример 9.3. Оптимизация плана перевозок лесоматериалов.

Менеджер лесной компании должен решить, как снабжать их три лесозавода древесиной, заготовленной на трех лесосеках. Расстояния между лесозаводами и лесосеками приведены в табл. 9.2. Транспортные затраты на вывозку древесины лесовозами (одной модели) - 10 руб. за км. Каждый завод требует непрерывного снабжения древесиной, причем минимальное ежедневное снабжение каждого из них - 25 лесовозов. Ежедневный максимальный объем вырубаемой древесины по лесосекам (в лесовозах) следующий: первая - 25; вторая - 30; третья - 25.

Таблица 9.2.

Лесосека	Расстояние между лесозаводами и лесосеками, км
	Лесозавод 1	Лесозавод 2	Лесозавод 3
1	8	15	50
2	10	17	20
3	30	25	15

Цель принятия решения - минимизация транспортных затрат. Требуется принять решение по количеству ежедневно отгружаемой древесины с лесосек к каждому лесозаводу.

Постановка задачи.

1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять транспортные издержки (ежедневные в рублях).

2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять число отгружаемых лесовозов в день из трех лесосек на три лесозавода, т.е. 9 переменных x_ij, где i - номер лесосеки, j - номер лесозавода.

3. Целевая функция:

80 x₁₁ + 150 x₂₁ + 500 x₃₁ + 100 x₁₂ + 170 x₂₂ + 200 x₃₂ + 300 x₁₃ + 250 x₂₃ + 150 x₃₃  min.

4. Ограничения:

4.1. По вырубаемой древесине на лесосеках, лесовозы:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃  25,

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃  30,

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃  25.

4.2. По потребности лесозаводов, лесовозы:

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁  25,

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂  25,

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃  25.

4.3. Областные ограничения:

x₁₁, x₂₁, ... x₃₃  0.