
- •Ю.Ю. Герасимов, в.К. Хлюстов
- •Математические методы и модели в расчетах на эвм: применение в лесоуправлении и экологии
- •Часть 1. Вариационная статистика
- •Глава 1.
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Основные понятия статистики
- •1.3. Основы теории вероятностей
- •1.3.1. Понятие случайной величины
- •1.3.2. Классическое и статистическое определения вероятности события
- •1.3.3. Основные теоремы теории вероятностей
- •1.4. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 2.
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Классификация и группировка вариант
- •2.3. Графическое представление вариационных рядов
- •2.4.1. Показатели центральной тенденции
- •2.4.2. Показатели вариации
- •2.4.3. Достоверность статистических показателей
- •2.4.4. Показатели скошенности и крутизны
- •2.5. Доверительный интервал
- •2.6. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 3.
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Нормальное распределение
- •3.3. Логнормальное распределение
- •3.4.2. Бета-распределение
- •3.5. Распределение Пуассона
- •3.6. Семейство кривых распределения Джонсона
- •3.7. Семейство кривых Пирсона
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 4.
- •4.1. Постановка задачи
- •4.3. Сравнение эмпирического распределения с теоретическим (критерий "хи-квадрат")
- •4.5. Сравнение дисперсий двух эмпирических совокупностей
- •4.6. Сравнение частот взвешенных рядов по критерию
- •4.7. Использование пакетов прикладных программ
- •4.8. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 5.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Однофакторный комплекс
- •5.3. Двухфакторный комплекс
- •5.4. Использование ms Excel для проведения дисперсионного анализа
- •5.4.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •5.4.2. Двухфакторный дисперсионный анализ без повторения
- •5.5. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 6.
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Коэффициент корреляции
- •6.3. Корреляционное отношение
- •6.4. Схема полного корреляционного анализа
- •6.5. Использование пакетов прикладных программ Вычисление коэффициента корреляции с использованием ms Excel
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 7.
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Статистический анализ одномерных моделей
- •Уравнение прямой линии
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение показательной кривой
- •Окончательный выбор типа уравнения регрессии
- •7.4. Множественная регрессия
- •7.5. Применение ms Excel для расчета регрессии
- •Часть 2. Исследование операций
- •Глава 8.
- •8.1. Общие положения
- •8.2. Основные понятия системного анализа
- •8.3. Основные понятия исследования операций
- •8.4. Постановка задач принятия оптимальных решений
- •8.5. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 9.
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Графическое решение задачи линейного программирования
- •9.3. Задача линейного программирования в стандартной форме
- •Преобразования неравенств
- •Преобразование неограниченных по знаку переменных
- •2.4. Основы симплекс - метода линейного программирования
- •9.5. Метод искусственных переменных
- •9.6. Анализ чувствительности в линейном программировании
- •9.7. Решение задач линейного программирования на эвм
- •9.8. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 10.
- •10.1. Постановка задачи
- •10.2. Метод ветвей и границ
- •10.3. Рекомендации по формулировке и решению задач цп
- •10.4. Задачи оптимизации раскроя
- •XA 0, xB 0, k 0 - целые.
- •XA 0, xB 0, k 0 - целые.
- •10.5. Постановка задачи дискретного программирования
- •Решение задач целочисленного и дискретного программирования на эвм
- •10.7. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 11.
- •11.1. Общие понятия
- •11.2. Практические рекомендации при постановке задач динамического программирования
- •11.3. Оптимальное распределение ресурсов
- •11.4. Оптимальное управление запасами
- •11.5. Оптимальная политика замены оборудования
- •11.6. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 12.
- •12.1. Постановка задачи
- •12.2. Применение стохастического программирования
- •12.3. Метод статистического моделирования
- •12.4. Контрольные вопросы и задания
- •Глава 13.
- •13.1. Постановка задач нелинейного программирования
- •13.2. Безусловная однопараметрическая оптимизация
- •13.2.1. Методы исключения интервалов
- •13.2.2. Методы полиномиальной аппроксимации
- •13.2.3. Методы с использованием производных
- •13.2.4. Сравнение методов безусловной однопараметрической оптимизации
- •13.3. Безусловная многопараметрическая оптимизация
- •13.3.1. Постановка задачи
- •13.3.2. Методы прямого поиска
- •13.3.3. Градиентные методы
- •13.4. Нелинейная условная оптимизация
- •13.4.1. Постановка задач условной нелинейной оптимизации
- •13.4.2. Методы штрафных функций
- •13.4.3. Методы прямого поиска
- •13.4.4. Методы линеаризации
- •13.5. Решение задач нелинейной оптимизации на эвм
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •Приложение 1 Значения t - распределения Стьюдента при доверительной вероятности р и числе степеней свободы k
- •Плотность вероятности нормального распределения
- •Приложение 3 Значения χ2 при доверительной вероятности р и числе степеней свободы k
- •Продолжение приложения 3
- •Значения -функции
- •Приложение 5 Значения - в распределении Джонсона
- •Продолжение приложения 5
- •Продолжение приложения 5
- •Продолжение приложения 5
- •Приложение 6
- •Продолжение приложения 6
- •Продолжение приложения 6
- •Продолжение приложения 6
- •Приложение 7
- •Продолжение приложения 7
- •Продолжение приложения 7
- •Продолжение приложения 7
Глава 3.
Теоретические законы распределения случайных величин
3.1. Постановка задачи
В процессе статистического анализа лесохозяйственной информации, относящейся к некоторой случайной величине, теорию распределений применяют в двух основных направлениях:
как основу статистических выводов, в частности, оценки параметров и проверки статистических гипотез;
как средство и метод представления выборочных распределений.
В первом случае основополагающую роль играет нормальный закон распределения, во втором - в качестве модели можно применять самые различные типы распределения. При этом в сходных практических ситуациях при изучении одной и той же величины возможно использование разных теоретических схем, что объясняется неполнотой соответствия реальной ситуации теоретическим предпосылкам и ограниченностью объема выборки. Последнее предопределяет приближенный характер решения задачи и необходимость статистической оценки ее результатов и объясняет обычно применяемые термины: «аппроксимация распределений», или «подгонка».
Конкретными практическими целями аппроксимации являются установление закона распределения случайной величины по выборке или аналитическое представление некоторого распределения в процессе свертки информации. Обычно используют один из трех взаимосвязанных подходов:
предполагаемый закон распределения выбирают на основе оценки теоретических предпосылок, изучения физических условий формирования данной случайной величины, предварительного анализа гистограмм, статистик распределения и т. д.;
для ряда распределения вычисляют аналитические характеристики, и по ним устанавливают тип распределения в пределах некоторого семейства кривых;
исходное распределение преобразуют в известный, «более простой» тип.
Первый путь наиболее содержателен при теоретическом осмысливании изучаемого явления, при обобщениях, связанных с переходом от распределения в выборке к распределению в генеральной совокупности, хотя при недостаточных теоретических представлениях возможна некоторая методическая неопределенность — это путь проб и ошибок. Аппроксимация здесь включает определение параметров, входящих в заданный закон распределения (на основе выборочных статистик), вычисление теоретических (или «выравнивающих») частот по полученной формуле и установление соответствия («согласия») между экспериментальными и теоретическими частотами при помощи критериев согласия.
Второй путь, рассматриваемый кратко на примере семейств кривых Пирсона, позволяет аналитически представить фактически любые распределения, встречаемые в лесном деле; он очень удобен в случае, когда задача ограничивается необходимостью свертки информации, но связь получаемых формул с реальной ситуацией интуитивно усматривается далеко не всегда. Этот подход требует трудоемких вычислений, поэтому широкое применение он приобрел в последние годы в связи с возможностью использования персонального компьютера.
Наконец, в качестве иллюстрации третьего подхода рассматривается семейство кривых Джонсона, интересное своей связью с нормальным распределением. Этот подход применяют не только для решения задач аппроксимации, но и для статистического оценивания, когда некоторые «плохие», с точки зрения экспериментатора, распределения (скошенные, асимметричные) преобразовываются в нормальные и близкие к ним, хотя здесь могут возникнуть определенные трудности математического порядка.
В большинстве задач кривые аппроксимации - своего рода интерполяционные формулы, сглаживающие «неровности» выборочного распределения. Если исследователь не располагает достаточными предпосылками для выбора определенной теоретической модели, то целесообразно выбирать кривые с меньшим числом параметров; желательно к тому же, чтобы параметры выражались через моменты низших порядков. В качестве основного вычислительного момента аппроксимации ниже используется метод моментов; здесь параметры распределения представляются через моменты, точнее, через их приближенные значения, вычисленные по выборке. Полученные уравнения решаются относительно неизвестных параметров. Примеры настоящего раздела иллюстрируют этот путь.
Некоторую помощь в выборе определенного типа распределения могут оказать выборочные значения моментов. В задачах обработки информации на ЭВМ так же могут быть полезны чисто машинные методы аппроксимации, особенно для относительно малых выборок, для которых вычисление выборочных моментов высоких порядков нецелесообразно, например, метод прямоугольных вкладов.