Глава 3.

Теоретические законы распределения случайных величин

3.1. Постановка задачи

В процессе статистического анализа лесохозяйственной информации, относящейся к некоторой случайной величине, теорию распределений применяют в двух основных направлениях:

• как основу статистических выводов, в частности, оценки параметров и проверки статистических гипотез;

• как средство и метод представления выборочных распределений.

В первом случае основополагающую роль играет нормальный закон распределения, во втором - в качестве модели можно применять самые различные типы распределения. При этом в сходных практических ситуациях при изучении одной и той же величины возможно использование разных теоретических схем, что объясняется неполнотой соответствия реальной ситуации теоретическим предпосылкам и ограниченностью объема выборки. Последнее предопределяет приближенный характер решения задачи и необходимость статистической оценки ее результатов и объясняет обычно применяемые термины: «аппроксимация распределений», или «подгонка».

Конкретными практическими целями аппроксимации являются установление закона распределения случайной величины по выборке или аналитическое представление некоторого распределения в процессе свертки информации. Обычно используют один из трех взаимосвязанных подходов:

• предполагаемый закон распределения выбирают на основе оценки теоретических предпосылок, изучения физических условий формирования данной случайной величины, предварительного анализа гистограмм, статистик распределения и т. д.;

• для ряда распределения вычисляют аналитические характеристики, и по ним устанавливают тип распределения в пределах некоторого семейства кривых;

• исходное распределение преобразуют в известный, «более простой» тип.

Первый путь наиболее содержателен при теоретическом осмысливании изучаемого явления, при обобщениях, связанных с переходом от распределения в выборке к распределению в генеральной совокупности, хотя при недостаточных теоретических представлениях возможна некоторая методическая неопределенность — это путь проб и ошибок. Аппроксимация здесь включает определение параметров, входящих в заданный закон распределения (на основе выборочных статистик), вычисление теоретических (или «выравнивающих») частот по полученной формуле и установление соответствия («согласия») между экспериментальными и теоретическими частотами при помощи критериев согласия.

Второй путь, рассматриваемый кратко на примере семейств кривых Пирсона, позволяет аналитически представить фактически любые распределения, встречаемые в лесном деле; он очень удобен в случае, когда задача ограничивается необходимостью свертки информации, но связь получаемых формул с реальной ситуацией интуитивно усматривается далеко не всегда. Этот подход требует трудоемких вычислений, поэтому широкое применение он приобрел в последние годы в связи с возможностью использования персонального компьютера.

Наконец, в качестве иллюстрации третьего подхода рассматривается семейство кривых Джонсона, интересное своей связью с нормальным распределением. Этот подход применяют не только для решения задач аппроксимации, но и для статистического оценивания, когда некоторые «плохие», с точки зрения экспериментатора, распределения (скошенные, асимметричные) преобразовываются в нормальные и близкие к ним, хотя здесь могут возникнуть определенные трудности математического порядка.

В большинстве задач кривые аппроксимации - своего рода интерполяционные формулы, сглаживающие «неровности» выборочного распределения. Если исследователь не располагает достаточными предпосылками для выбора определенной теоретической модели, то целесообразно выбирать кривые с меньшим числом параметров; желательно к тому же, чтобы параметры выражались через моменты низших порядков. В качестве основного вычислительного момента аппроксимации ниже используется метод моментов; здесь параметры распределения представляются через моменты, точнее, через их приближенные значения, вычисленные по выборке. Полученные уравнения решаются относительно неизвестных параметров. Примеры настоящего раздела иллюстрируют этот путь.

Некоторую помощь в выборе определенного типа распределения могут оказать выборочные значения моментов. В задачах обработки информации на ЭВМ так же могут быть полезны чисто машинные методы аппроксимации, особенно для относительно малых выборок, для которых вычисление выборочных моментов высоких порядков нецелесообразно, например, метод прямоугольных вкладов.