2) Свойства.

2. Общее условие равенства нулю определителя.

– линейная комбинация столбцов того же порядка, если его можно представить в виде взвешенной суммы. – коэффициент линейных комбинаций, или весовой коэффициент.

Пусть

Система и п столбцов одного и того же порядка называется линейно зависимой, если существуют такие , что линейная комбинация равна , следовательно хотя бы один из этих столбцов является , либо может быть выражен в виде линейной комбинации других столбцов.

Система из п столбцов является линейно независимой, если равенство их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все весовые коэффициенты – нули.

Свойства:

1. Дополнения к линейно зависимой системе любых других столбцов приводит к ассиметричной линейной зависимости.

2. Исключение из линейно-независимой системы любых столбцов даёт независимую подсистему.

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя матрицы:

Для того чтобы определитель матрицы был равен нулю необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из его столбцов или строк был линейной комбинацией остальных, или чтобы столбцы, или строки были линейно зависимы.

Вопрос № 8: Миноры матриц:

1. Миноры матриц.

1) Определение.

2) Свойство.

2. Базисный минор.

1) Теорема о базисном миноре матрицы.

3. Ранг матрицы.

1) Теорема о ранге матрицы.

Минором матрицы порядка к называют определитель , составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольным образом выбранных к-ых строк и к-ых столбцов этой матрицы.

Базисный минор:

Базисным минором матрицы А называется такой минор порядка r, который не равен нулю, а все миноры рангом выше равны, или не существуют.

Свойство:

Если в матрице все миноры М_к равны нулю, то все миноры высших порядков так же будут равны нулю, так как они вычисляются по элементам строк и столбцов, а значит выражаются через М_к.

Базисный минор – это минор номинального порядка, не равный нулю.

Произвольная матрица, каждый столбец, или строка которой является линейной комбинацией строк, или столбцов, входящих в базисный минор.

Рангом матрицы называется порядок её базисного минора.

Теорема о ранге.

Ранг матрицы соответствует количеству её линейно независимых строк, или столбцов.

Вопрос № 9: Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров:

Пусть в матрице найден минор порядка к, отличный от нуля, тогда достаточно рассмотреть лишь те миноры к+1 порядка, которые содержат внутри себя, то есть окаймляют минор к-ого порядка.

Если все они равны нулю, то минор к-ого порядка – базисный минор, а ранг матрицы равен рангу базисного минора, то есть матрица – к-ого порядка, ну а если существуют миноры, не равные нулю, ранг которых больше к, то операцию поиска необходимо продолжать. к:=л+1;

Пример:

М₂ – базисный минор, ранг матрицы равен двум.

Вопрос № 10: Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований:

Элементарные преобразования матрицы:

1. Перестановка строк, или столбцов матрицы.

2. Умножение строки, или столбцы на число, отличное от нуля.

3. Сложение строк (столбцов) матрицы.

Теорема об элементарных преобразованиях матрицы:

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, поэтом при помощи элементарных преобразований матрица приводится к ступенчатому, или блочно треугольному виду, по которому ранг можно определить визуально.

Пример:

Правило определения ранга матрицы и её базисного минора:

1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её не нулевых строк.

2. Базисный минор ступенчатой матрицы содержится среди элементов её не нулевых строк и такого же количества её столбцов, взятых по одному из каждой ступеньки.

Вопрос № 11: Теорема Кронекера-Капели:

1. Теорема Кронекера-Капели.

2. Общий метод решения систем из т алгебраических уравнений с п неизвестными.

Условие совместности

Рассмотрим произвольную систему из т уравнений с п неизвестными: , тогда ,

Теорема Кронекера-Капели:

Система совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов.

Доказательство:

Необходимое условие:

Если система совместна, то ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов равны.

Следовательно, столбец свободных членов линейно зависит от столбцов матрицы коэффициентов, поэтом столбцы расширенной матрицы содержат тоже количество независимых столбцов, что и матрица коэффициентов, тогда добавление линейно зависимого столбца не изменит ранг матрицы. Следовательно, по теореме о ранге матрицы, ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

Достаточное условие:

Применим правило Крамара к произвольной системе. Пусть система совместна, тогда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда переставим уравнения системы, и перенумеруем переменные так, что бы базисный минор стоял в левом верхнем углу.

Назовём базисными те переменные, которые входят в базисный минор, а все остальные – свободными.

Тогда по теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены, как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с r уравнениями и тем же количеством неизвестных, где r – ранг системы, или ранг базисного минора.

Перенесём свободные переменные направо, тогда получится система следующего вида: , тогда у этой укороченной системы определитель . Число уравнений равно числу неизвестных, следовательно, к этой системе можно применить правило Крамара. , , таким образом правило Крамара позволяет выразить базисные элементы через свободные. В результате придавая свободным переменным значения: , где С – произвольное действительное число. . Отсюда следует: – множество решений системы уравнений содержит n-r произвольных постоянных, то есть является многопараметрическим.

Частный случай, когда ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда все переменные являются базисными, значит свободных нет, а система имеет единственное решение.

Система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если она совместна, и её ранг равен количеству переменных.

Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных:

1. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

1) Матричная форма записи.

2) Прямой и обратный ход.

Метод последовательного исключения неизвестных заключается в решении системы алгебраических уравнений с одновременным исследованием её на совместность.

Метод реализуется в два этапа:

Прямой ход метода:

Прямой ход метода Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы коэффициентов системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, то есть как при нахождении ранга матрицы и базисного минора, но только со строками матрицы. При этом само преобразование к ступенчатому виду с помощью нескольких шагов, на каждом из которых исключается одна переменная, то есть обнуляется нижний элемент одного из столбцов.

В результате выполнения нескольких шагов матрица оказывается приведённой к ступенчатому виду. На этом этапе можно определить ранг матрицы и системы.

Если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, то система считается совместной, в противном случае система не совместна.

Если количество уравнений равно количеству неизвестных, то система имеет единственное решение, если ранг системы меньше числа неизвестных, то количество решений бесконечно.

Обратный ход метода:

Если решение единственно:

Вопрос № 13: Однородная система линейных алгебраических уравнений:

1. Однородная система линейных алгебраических уравнений.