Задачи для самостоятельного решения

С 2.1. (Бур 388) Две перпендикулярные прямые, проходящие через точку M, пересекают окружность в точках A,B и C,D.

Доказать, что .

С 2.2. (Бек 1.13) В параллелограмме ABCD точка K – середина отрезка BC, а точка O – точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов

С 2.3. (Бек 1.18) Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая за базисные векторы и найти в этом базисе координаты векторов

С 2.4. (Бек 1.26) Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы и найти коор­динаты вершин шестиугольника и его центра.

С 2.5. (Бек 1.27) В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и BC равно 4. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы и найти координаты вершин трапеции, точки M пересечения ее диагоналей и точки S пересечения продолжений боковых сторон.

С 2.6. (Бек 1.28) Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы найти коорди­наты

1) вершин C, B₁ и C₁;

2) точек K и L – середин ребер A₁B₁ и CC₁ соответственно;

3) точек M и N пересечения диагоналей граней A₁B₁C₁D₁ и ABB₁A₁ соответственно;

4) точки O пересечения диагоналей параллелепипеда.

С 2.7. (Мод 1) Векторы = a и = b служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить векторы через векторы a и b.

С 2.8. (Мод 4-5) В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Представить векторы в виде линейных комбинаций векторов . Найти сумму векторов

С 2.9. (Мод 8) Точки K и L служат серединами сторон и параллелограмма ABCD. Выразить векторы через векторы

С 2.10. (Мод 9) В плоскости треугольника ABC найти такую точку M, что сумма векторов равна нулю. Указание. Выразить радиус-вектор через радиус-векторы

С 2.11. (Доп) Докажите, что точка M из задачи 2.10 является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

С 2.12. (Бур 380) Существует ли в плоскости треугольника ABC такая точка M, что сумма векторов = 0.

С 2.13. (Доп) В тетраэдре ABCD найти такую точку M, что сумма векторов равна нулю. Указание. Выразить радиус-вектор через радиус-векторы

С 2.14. (Доп) Медианой тетраэдра ABCD называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Доказать, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3:1, считая от вершины. Указание. Эта точка совпадает с точкой M из задачи 2.14.

С 2.15. (Мод 90) Один из концов отрезка AB находится в точке A(2,3), его серединой служит точка M(1,–2). Найти другой конец отрезка.

С 2.16. (Мод 91) Даны середины сторон треугольника (2,4), (–3,0), (2,1). Найти его вершины.

С 2.17. (Кле 109) Точка M пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины треугольника – точки A(2,–3) и B(–5,1), третья вершина C лежит на оси ординат. Найти точки M и C.

С 2.18. (Мод 92) Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD: A(–4,–7), B(2,6) и точка пересечения диагоналей M(3,1). Найти две другие вершины параллелограмма.

С 2.20. (Мод 110) Найти отношение, в котором плоскость Oyz делит отрезок AB, если A(2,–1,7), B(4,5,–2).

С 2.21. (Кле 742) Определить координаты концов отрезка, который точками C(2,0,2) и D(5,–2,0) разделен на три равные части.

С 2.22. (Доп) Найти координаты цен­тра тяжести однородной пластинки, имею­щей форму прямоугольной трапеции (рис. 2.7).

15