2. Линейные операции с векторами

2. Линейные операции с векторами

Основы теории

Правило "конец минус начало"

Векторное равенство является следствием формулы сложения векторов . Если задано начало отсчета O, то с каждой точкой M связывают ее радиус-вектор . Тогда для двух точек M₁ и M₂ вектор . Положение на­чала отсчета часто бывает несущественно, тогда это равенство можно записать несколько иначе: (правило “конец минус начало”).

Базис и координаты

Базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов e₁ e₂. Любой вектор a можно разложить по базису: a = a₁e₁ + a₂e₂. Координатами вектора a в базисе e₁, e₂ называются коэффициенты a₁, a₂  в разложении этого вектора. Координаты вектора определяются однозначно. Если базис зафикси­рован, вектор можно кратко записать через его координаты a = {a₁, a₂}.

Базис в трехмерном пространстве состоит из трех некомпланарных векторов e₁, e₂, e₃. Любой вектор a можно разложить по базису: a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃.. Координатами вектора a в базисе e₁, e₂, e₃ называются коэффициенты a₁, a₂, a₃  в разложении этого вектора. Координаты вектора определяются однозначно. Если базис зафиксирован, вектор можно кратко записать через его координаты a = {a₁, a₂, a₃}.

При сложении (вычитании) векторов соответствующие координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Это справедливо как для координат на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Система координат на плоскости (в трехмерном пространстве) определяется заданием начальной точки O и базиса e₁, e₂ (e₁, e₂, e₃). Ориентированные прямые, несущие базисные векторы, называются осями координат. Обычно их обозначают Ox, Oy, Oz.

С каждой точкой M связывают ее радиус-вектор . Его координаты в базисе, связанном с системой координат, называются координатами точки M. Если = xe₁+ye₂+ze₃, координаты точки M записываются в виде M(x,y,z). (На плоскости берутся только координаты x,y). Если заданы две точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂), то вектор ={x₂–x₁, y₂–y₁, z₂–z₁}.

Деление отрезка в заданном отношении

Дан отрезок M₁M₂ и число l. Требуется найти на отрезке такую точку M, что отношение длин .

Будем считать, что точки M₁ и M₂ заданы их радиус-векторами относительно некоторой точки O: = r₁, = r₂ и будем искать радиус- век­тор =r.

Отношение длин запишем в векторной форме: , по пра­вилу "конец минус начало" имеем = r – r₁, = r₂ – r, откуда

r – r₁= l(r₂ – r).

Разрешив это уравнение относительно неизвестного вектора r, получим формулу деления отрезка в заданном отношении в векторной форме:

,

в координатной форме , , ,

Важный частный случай: при l=1 имеем деление отрезка пополам:

,

в координатной форме , , .

В первона­чаль­ной поста­новке задачи отношение   0, но это ограничение можно снять, считая  любым, отличным от –1. При   0 говорят, что отрезок де­лится внутренним образом, а при  < 0 – внешним образом. На рисунке показаны положения точки M при некоторых значениях ; при  –1 точка M "уходит в бесконеч­ность".