Возможные перемещения , называют со времён Л.Эйлера – изохронными вариациями (одномоментные, в данный момент времени вариации координат). Они кинематически и линейно независимымы. Тогда исходную систему общих уравнений динамики можно будет переписать так:

В результате получим систему уравнений движения в обобщенных силах: , как наиболее общую из ковариантных форм.

21.2 Вычисление обобщенных сил инерции по Лагранжу, Аппелю и Нильсену

“По Лагранжу”. Наиболее привычная на сегодня и употребляемая в инженерной практике для описания динамики голономных систем и неголономных систем с линейными по скоростям уравнениями связей, – форма вычисления обобщенных сил инерции – “по Лагранжу”. Она исторически связана с уравнениями Лагранжа второго рода (конец 18-го века), которые рассмотрим далее. Тогда

Здесь .

“По Аппелю”. Ковариантные уравнения Аппеля (начало 20 века) хотя и имеют наипростейший вид, однако на практике составляются гораздо более громоздко и применяются в основном при решении задач динамики неголономных и управляемых систем с уравнениями связей – программами движений, до линейных по ускорениям. Здесь вычисляются так:

и

, - энергия ускорений (функция Аппеля).

“По Нильсену”. Уравнения Нильсена (середина 20-го века) – эта форма уравнений применятся в основном для решения чисто механических задач голономных и неголономных систем вплоть до нелинейных по скоростям связей. Здесь определяются так:

.

21.3 Уравнения Лагранжа, Аппеля, Нильсена

Эти три хорошо известные ковариантные формы уравнений движения получаются подстановкой в уравнения движения в обобщённых силах

соответствующих выражений для обобщённых сил инерции . Тогда

- система уравнений Лагранжа 2-го рода.

Здесь уместно отметить, что для потенциальных систем (и обощеннопотенциальных систем) удобно ввести функцию Лагранжа – Кинетический потенциал (аналог Свободной энергии в термодинамике), как одну из энергетических мер, так:

(Дж)

Тогда, для таких систем, уравнения Лагранжа примут вид:

.

В общем случае, при наличии разной природы: потенциальных, диссипативных, зависящих от времени…, уравнения Лагранжа примут вид:

Аналогично получим и системы уравнений Аппеля и Нильсена:

- система уравнений Аппеля.

- система уравнений Нильсена.

Сегодня известен ещё ряд ковариантных форм уравнений движения, однако в нашем курсе мы их не рассматриваем.

21.4 Вычисление кинетической энергии как .

Выразим кинетическую энергию через обобщенные скорости и координаты.

Кинетическая энергия определяется как

.

Учтём, что и . Тогда и

.

Здесь

,

,

Введем обозначения

,

Тогда

, и

Коэффициенты принято называть обобщенными коэффициентами инерции. Здесь . Коэффициенты - гиростатические коэффициенты. Заметим, что и не зависят от обобщенных скоростей .

При стационарных связях время t явно не входит в . Все частные производные будут равны нулю, а значит и , и . Поэтому, в этом случае, кинетическая энергия есть квадратичная форма обобщенных скоростей и всегда определенно положительна.

21.4 Алгоритм составления уравнений лагранжа (нильсена) и решения задач динамики

Эти уравнения активно применяются в наше время в механике, электромеханике и мехатронике в силу удобной простоты их составления по алгоритму.

Алгоритм:

1. Выделяем механическую систему и определяем число её степеней свободы.

2. Выбираем удобные для решения данной задачи обобщенные координаты, в количестве S, где S – число степеней свободы.

3. Записываем систему уравнений движения в одной из форм, например в форме Лагранжа (Нильсена).

4. Записываем кинетическую энергию как сумму кинетических энергий частей и используем, в том числе теорему Кёнига.

5. Проводим кинематический анализ движения тел системы, то есть выражаем через искомые величины.

6. Компонуем выражение для кинетической энергии системы в виде: .

7. Вычисляем левые части уравнения.

8. Проводим силовой анализ задаваемых сил и пар сил, действующих на систему, и изображаем на расчетной схеме.

9. Вычисляем обобщенные задаваемые силы, каким-нибудь из известных способов.

10. Компонуем уравнения движения (к левой части приравниваем правую). Анализируем их и классифицируем задачу динамики. В конечном счете получаем уравнения движения в обобщенных координатах, скоростях и ускорениях.

11. Решаем задачу методами математики.

12. Проводим содержательный анализ полученного решения, делаем проверку и интерпретируем полученный результат.