3. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Условная вероятность. Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р_A (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Исходя из классического определения вероятности, формулуР_A (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0 можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна Р_A (В) = Р (АВ) / Р (А)    (Р(A)>0).

Формула полной вероятности. Пусть В1, ..., Вn – несовместные события, образующие полнуюгруппу, т.е. ∑Р(Вi) i=1,...,n = 1. Имеет место событие А (рис.1.2). Событие А может наступить лишь при наступлении одного из событий Вi, и полная вероятность события А определяется как сумма произведений вероятностей каждого из событий Вi на соответствующую условную вероятность события А относительно этого события Вi:

Р(А) = Р(В1) ⋅ РВ1 (А) + Р(В2) ⋅ РВ2 (А) + ... + Р(Вn) ⋅ РВn(А).

Уточнение вероятностей гипотез. Формула Бейеса

Пусть В1, ..., Вn – несовместные события (гипотезы), образующие полную группу, т.е. ∑Р(Вi)i=1,...,n = 1. Произведен опыт, в результате которого произошло событие A. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события.Иначе, необходимо найти условную вероятность для каждой гипоте-10зы Вi в предположении, что событие А произошло, т е. РА(Вi). Эти вероятности определяются так называемой формулой Бейеса: РА(Вi

Пример.

На строительство тоннеля пришли тюбинги с двух заводов. Из-

вестно, что тюбинги завода №1 имеют надежность 95% (т.е. брак –

5%), а завод №2 – 97%. Завод №1 поставил 60% тюбингов, а завод

№2 – 40%, т.е. первоначальная вероятность, что наудачу выбран-

ный тюбинг окажется изготовленным на заводе №1, равна 0,6, а на

заводе №2 – 0,4. Наудачу выбранный тюбинг оказался качествен-

ным. Покажем, как изменятся наши представления о вероятности

принадлежности этого качественного тюбинга тому или иному заво-

ду. Вероятность, что тюбинг будет принадлежать заводу №1, по

формуле Бейеса равна:

Р№1 = 0,6 ⋅ 0,95 / (0,6 ⋅ 0,95 + 0,4 ⋅ 0,97) = 0,57 / (0,57 + 0,39) = 0,

57 / 0,96 = 0,59; соответственно Р№2 = 0,41

4. Повторение опытов, схема Бернулли.

5. Случайная величина и функция распределения.

6. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия.

7. Непрерывные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия.

8. Типовые распределения случайных величин.

9. Свойства математического ожидания и дисперсии.

10. Ковариация случайных величин, коэффициент корреляции и их свойства.

11. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

12. Генеральная совокупность и выборка. Первичная обработка данных: вариационный ряд, таблицы частот, гистограммы частот, выборочные средняя и дисперсия.

13. Статистические оценки. Требования, предъявляемые к оценке: несмещенность, состоятельность, эффективность.

14. Точечные оценки. Оценка математического ожидания и дисперсии.

15. Интервальные оценки. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.

16. Статистическая проверка гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Направленные и ненаправленные альтернативы. Ошибки первого и второго рода. Уровни статистической значимости.

17. Критерии проверки нулевой гипотезы. Область принятия гипотезы и критическая область для направленных и ненаправленных альтернатив. Мощность критерия.

18. Критерий Стьюдента, критерий Фишера.

19. Критерии согласия: критерий χ², критерий Колмогорова–Смирнова.

20. Критерии сдвига: критерий Манна–Уитни, критерий Вилкоксона, критерий знаков.

21. Корреляция и регрессия, уравнение регрессии. Линейная и нелинейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

22. Многомерный статистический анализ. Общая характеристика методов.

23. Временной ряд. Задачи анализа временных рядов.

24. Ряды Бокса–Дженкинса.