Решение.
Множество точек, заданных таблицей, построим на плоскости (Рис.1).
Рис. 1
Из
рисунка видно, что точки Мi(xi,
yi)
(i=1,2,3,4,5,6)
группируются около некоторой прямой.
Следовательно, зависимость между
переменными x
и y
близка к линейной. Найдем методом
наименьших квадратов эмпирическую
формулу вида
.
Определим модель. Для вычисления коэффициентов a и b воспользуемся таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0,2 |
49 |
0,04 |
1,4 |
|
2,3 |
-2,7 |
5,29 |
7,29 |
-6,21 |
|
9,2 |
1,7 |
84,64 |
2,89 |
15,64 |
|
3,3 |
-0,8 |
10,89 |
0,64 |
-2,64 |
|
9 |
1,4 |
81 |
1,96 |
12,6 |
сумма |
30,8 |
-0,2 |
230,82 |
12,82 |
20,79 |
Напишем нормальную систему уравнений
Из
этой системы уравнений найдем
и
.
Следовательно, модель имеет вид
.
Рассчитаем модельные значения, подставляя значения входной переменной:
|
0,41 |
-6,21 |
15,64 |
-2,64 |
12,6 |
|
Определим адекватность модели, для чего вычислим общую сумму квадратов Q , сумму квадратов, обусловленную регрессией QR и остаточную сумму квадратов, характеризующую отклонение от регрессии QE.
Для
проверки полученных расчетов, необходимо,
чтобы
12,812≈12,815
Задача№2
Х |
-2 |
-1,6 |
-1,2 |
-0,8 |
-0,4 |
0 |
0,4 |
0,8 |
1,2 |
1,6 |
У |
16 |
10,24 |
5,76 |
2,56 |
0,53 |
0 |
0,64 |
2,56 |
5,76 |
10,24 |
Выровнять зависимость y от x по параболе .
Решение.
Определим модель.
Для нахождения параметров а, b и с применим метод наименьших квадратов. Составим таблицу величин, входящих в систему уравнений:
|
x |
y |
x2 |
x3 |
x4 |
xy |
x2y |
y2 |
|
-2 |
16 |
4 |
-8 |
16 |
-32 |
64 |
256 |
|
-1,6 |
10,24 |
2,56 |
-4,096 |
6,5536 |
-16,384 |
26,2144 |
104,8576 |
|
-1,2 |
5,76 |
1,44 |
-1,728 |
2,0736 |
-6,912 |
8,2944 |
33,1776 |
|
-0,8 |
2,56 |
0,64 |
-0,512 |
0,4096 |
-2,048 |
1,6384 |
6,5536 |
|
-0,4 |
0,53 |
0,16 |
-0,064 |
0,0256 |
-0,212 |
0,0848 |
0,2809 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,4 |
0,64 |
0,16 |
0,064 |
0,0256 |
0,256 |
0,1024 |
0,4096 |
|
0,8 |
2,56 |
0,64 |
0,512 |
0,4096 |
2,048 |
1,6384 |
6,5536 |
|
1,2 |
5,76 |
1,44 |
1,728 |
2,0736 |
6,912 |
8,2944 |
33,1776 |
|
1,6 |
10,24 |
2,56 |
4,096 |
6,5536 |
16,384 |
26,2144 |
104,8576 |
СУММА |
-2 |
54,29 |
13,6 |
-8 |
34,1248 |
-31,956 |
136,4816 |
545,8681 |
Теперь найдем нормальную систему способа наименьших квадратов при выравнивании по параболе:
Из
этой системы уравнений найдем:
;
;
.
Модель имеет вид:
Рассчитаем модельные значения, подставляя значения входной переменной:
|
|
|
|
|
|
Определим адекватность модели, для чего вычислим остаточную сумму квадратов, характеризующую отклонение от регрессии QE.
Так как QE в данном случае имеет приемлемое значение, то выбираем параболическую зависимость и эта модель адекватна.