21. График функции распределения дсв

Если  - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

22. Непрерывные случайные величины. График.

Определение   Случайную величину назовем непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.

Легко видеть (см. Замечание 3.4), что случайная величина непрерывна тогда и только тогда, когда при всех .

Важный класс непрерывных случайных величин -- абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.

Определение   Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует функция такая, что

1. , 2. , 3. имеет место равенство:

23. Теорема о вер-ти отдельно взятого значения нсв

24. Вероятность попадания нсв в заданный интервал

Вер. попадания СВ Х в задан. интервал равна приращению ее функции распредел. на этом интервале, т.е. вер. того, что ( )= F( ) - F( ). Эта формула следует из формулы F( )=F( )+ P( ) – вопрос №24, если вместо точек взять точки и . Вер. любого отдельного значения непрерывн. СВ равна 0. Доказ-во: Воспользуемся равенством ( )= F( ) - F( ) и устемим к ( ). Тогда получим = . В левой части последн. рав-ва в пределе вместо вер. попадания значения СВ в интервал получим вер. того, что СВ приняла отдельно взятое значение , т.е. . Значение предела в правой части рав-ва зависит от того, явл. ли функц. F(x) непрерывн. в точке или имеет в ней разрыв. Если функц. имеет разрыв, то предел равен величине скачка функции F(x) в точке . Т.к. по предположению функц. F(x) всюду непрерывна, то = F( ) - F( ) = 0. Т.о. = = =0. При непрерывн. распределении вероятностей, т.е. когда функц. распредел. непрерывна, вер. попадания значения непрерывн. СВ на сколь угодно малый участок отлична от 0, тогда как вер. попадания в строго определен. точку равна 0. Воспользовавшись последн. св-вом, докажем, что для непрерывн. СВ выполняются след. рав-ва: Р( ) = = = . Докажем одно из соотношений. Соб. представл. собой сумму 2-ух несовместн. событий и . Тогда по теореме сложения вер. имеем Р( ) = + . Согласно последн. св-ву =0, тогда + = = F( ) - F( ). Следоват-но = F( ) - F( ).

25. Плотность вероятности нсв

Функц. распредел. вероятностей непрерывной СВ дает полную вероятностн. хар-ку ее поведения. Однако задание непрерывн. СВ с пом. функц. распредел. не является единственным. Ее можно задать с пом. др. функции, кот. назыв. дифференциальн. функц. распределения или плотностью распредел. вероятностей. Пусть X – несрерывн. СВ с интервальн. функц. распредел. F(x). F(x) непрерывна и дифференцируема в исследуемом интервале. Рассмотрим вер. попадания значения СВ в интервал (x; x+ x). P(x<X<x+ x) = F(x+ x) – F(x), т.е. вер. равна приращению функц. на этом участке. Определим вер., кот. приходится на единицу длины рассматриваемого участка. Для этого разделим обе части последн. рав-ва на x: = = = = . = f(x). Опред.: Дифференц. функц. распредел. или плотностью распредел. вер. называется 1-ая производная от интегральн. функции распредел. Замеч.: Для хар-ки распредел. вер. дискретн. СВ дифференц. функция распредел. непременима.